武汉市2015届高三9月调研测试数学（文科）

2014.9.5

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为

A．3 B．4 C．5 D．6

2．＝

A．4－3i B．4＋3i C．－4－3i D．－4＋3i

3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是

A．＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4

4．设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝

A． B．2 C．3 D．4

6．右图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入

A．q＝

B．q＝

C．q＝

D．q＝

7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为

8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则

A．a＜v＜ B．v＝ C．＜v＜ D．v＝

9．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝

A．4 B．8 C．12 D．16

10．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．一组样本数据的茎叶图如图所示，则这组数据的平均数等于 ．

12．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝ ．

13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3．

14．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 ．

15．函数f(x)＝的零点个数是 ．

16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…；依此类推，则

（Ⅰ）按网络运作顺序第n行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，
）是 ；

（Ⅱ）第63行从左至右的第3个数是 ．

17．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝ ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－．

（Ⅰ）若sinα＝，且＜α＜π，求f(α)的值；

（Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合．

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；

（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由．

20．（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）直线A1F∥平面ADE．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx（a＞0，b∈R）．

（Ⅰ）设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．

22．（本小题满分14分）

如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

武汉市2015届高三9月调研测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．A 5．C

6．D 7．A 8．A 9．B 10．C

二、填空题

11．23 12．1 13．6 14． 15．2

16．（Ⅰ）；（Ⅱ）2014 17．

三、解答题

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵sinα＝，且＜α＜π， ………………2分

∴cosα＝－＝－＝－．………………4分

∴f(α)＝cosα(sinα＋cosα)－＝－×(－)－＝－．………………6分

（Ⅱ）f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－

＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)． ………………

当2x＋＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，………

此时自变量x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．………………1分

两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1． ………………2分

由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………………………………………………4分

（Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分

由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．

令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． ………………6分

故an＋2－an＝4，由此可得

{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；………………8分

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．………………10分

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2．

因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………………………………………12分

20．（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC， ………………2分

∵AD?平面ABC，

∴CC1⊥AD． ………………3分

∵AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，

∴AD⊥平面BCC1B1． ………………4分

∵AD?平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCC1B1．……………………………………………………6分

（Ⅱ）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

∴A1F⊥B1C1． ………………7分

∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F ?平面A1B1C1，

∴CC1⊥A1F． ………………9分

∵CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

∴A1F⊥平面BCC1B1． ………………10分

由（Ⅰ）知，AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD． ………………11分

∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，

∴A1F∥平面ADE．……………………………………………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f ′(x)＝．……………2分

∵a＝1，b＝－1，

∴f ′(x)＝＝（x＞0）．………………3分

令f ′(x)＝0，得x＝1．

当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；………………4分

当x＞1时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．

∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．…………………6分

（Ⅱ）由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，

∴f ′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a．………………8分

令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），则g′(x)＝．

令g′(x)＝0，得x＝． ………………10分

当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．………………12分

∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0．

∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，

故lna＜－2b．……………………………………………………………………14分

22(14分)

解：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分

当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有

tan∠MBA＝，即－＝，…………………4分

化简可得，3x2－y2－3＝0．

而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，…………………5分

综上可知，轨迹C的方程为x2－＝1（x＞1）．………………………………6分

（Ⅱ）由消去y并整理，得x2－4mx＋m2＋3＝0．（*）…………7分

由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴解得m＞1，且m≠2．……………9分

∵m＜2，∴1＜m＜2． …………………10分

设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有

xR＝2m＋，xQ＝2m－，

∴＝＝＝＝－1＋．

由1＜m＜2，得1＜－1＋＜7．…………………12分

故的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分