高三8月起点考试数学（理）试题

考试时间：120分钟　　满分：150分

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案写在第Ⅱ卷卷首答题栏内。)

1．已知集合A＝{x|x

A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>2

2. 已知命题p：?n∈N,2n＞1000，则?p为(　 　)

A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000 C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000

3．若不等式
成立的充分条件为
，则实数的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 实数
，
，
的大小关系正确的是(　 　)

A．a

5．函数f(x)＝ln(x＋1)－(x>0)的零点所在的大致区间是(　　 )

A．(0,1)　　 B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)

6．已知函数y＝f(x)是偶函数，且函数y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则(　 　)

A．f(－1)

7. 由直线
，
，
与曲线
所围成封闭图形的面积为（ ）

A．
B． C．
D．

8．已知曲线
(n∈N*)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则
…
的值为 (　 　)

A．
B．－1 C．
D．1

9. 已知函数
的图象与直线
恰有三个公共点，则实数的取值范围是（　　 ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中横线上。）

11．已知定义在上的奇函数
，当
时
，则当
时
的表达式为 ．

12．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x＋3)＝－f(x)，又f(4)＝－2，则f(2011)＝_______.

13．若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是________

14．若
在
上是减函数，则
的取值范围是 .

15. 某同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形
和
，点是边
上的一个动点，设
，则
. 请你参考这些信息，推知函数
的图象的对称轴是 ；函数
的零点的个数是 .

三．解答题:（大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

已知二次函数
满足条件
，
.

(1)求
；

(2) 设
，已知
在
上有且只有一个零点，求的取值范围.

17．(本小题满分12分)

已知命题：关于的函数
的值域为，命题：关于的不等式
的解集；

（1）当
时，若
为真，求的取值范围；

（2）若
是
的必要不充分条件，求实数的取值集合.

19．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

20.（本小题满分13分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

（1）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型

的基本要求；

（2）现有两个奖励函数模型：(1)y＝
；(2)y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型

是否符合公司要求？

CAACB DDBBB

11.

12. 2

13.

14.

15.

19. (1)
；
(2)

20．解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③
恒成立.

（Ⅱ）（1）对于函数模型
：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则
.

所以f(x)≤9恒成立.

因为函数
在[10，1000]上是减函数，所以
.

从而
，即
不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.

（2）对于函数模型f(x)＝4lgx－3：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则
.

所以f(x)≤9恒成立.

设g(x)＝4lgx－3－
，则
.

当x≥10时，
，所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－
＜0，即4lgx－3＜
，所以
恒成立.故该函数模型符合公司要求.

(2)
，∴
，∴
.