选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．i为虚数单位，

A．1 B．
C．i D．

3．命题“
，
”的否定是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4．若变量x，y满足约束条件
则
的最大值是

A．2 B．4 C．7 D．8

5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为
，点数之和大于5的概率记为
，点数之和为偶数的概率记为
，则

A．
B．
　　 　

C．
D．

7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），

（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②

8．设
是关于t的方程
的两个不等实根，则过
,
两点的直线与双曲线
的公共点的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

9．已知
是定义在上的奇函数，当
时，
. 则函

的零点的集合为

A.
B.

C.
D.

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式
. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3. 那么，近似公式
相当于将圆锥体积公式中的近似取为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.

12．若向量
，
，
， 则
.

13．在△ABC中，角，B，C所对的边分别为a，b，c.

已知
， =1，
，则B = .

14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为 .

15．如图所示，函数
的图象由两条射线和三条线段组成．

若
，
，则正实数的取值范围为　　　　．

16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为
.

（Ⅰ）如果不限定车型，
，则最大车流量为 辆/小时；

（Ⅱ）如果限定车型，
, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时.

17．已知圆
和点
，若定点

和常数满足：对圆上任意一点
，都有
，则

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：

，
.

（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；

（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，且
，
，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
为数列
的前项和，是否存在正整数n，使得

？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

如图，在正方体
中，，，P，Q，M，N分别是棱
，
，
，

，
，
的中点. 求证：

（Ⅰ）直线
∥平面
；

（Ⅱ）直线
⊥平面
.

21．（本小题满分14分）

为圆周率，
为自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求
，
，
，
，
，
这6个数中的最大数与最小数.

22．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离比它到轴的距离多1．记点M的

轨迹为C.

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设斜率为的直线过定点
. 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

参考答案

15．
16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）
；（Ⅱ）

三、解答题：

18．（Ⅰ）

.

故实验室上午8时的温度为10 ℃.

（Ⅱ）因为
，

又
，所以
，
.

当
时，
；当
时，
.

于是
在
上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

19．（Ⅰ）设数列
的公差为，依题意，，
，
成等比数列，故有
，

化简得
，解得
或
.

当
时，
；

当
时，
，

从而得数列
的通项公式为
或
.

（Ⅱ）当
时，
. 显然
，

此时不存在正整数n，使得
成立.

当
时，
.

令
，即
，

解得
或
（舍去），

此时存在正整数n，使得
成立，n的最小值为41.

综上，当
时，不存在满足题意的n；

当
时，存在满足题意的n，其最小值为41.

20．证明：

（Ⅰ）连接AD1，由
是正方体，知AD1∥BC1，

因为，分别是
，
的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而
平面
，且
平面
，

（Ⅱ）如图，连接
，
，则
.

由
平面
，
平面
，可得
.

又
，所以
平面
.

而
平面
，所以
.

因为M，N分别是
，
的中点，所以MN∥BD，从而
.

同理可证
. 又
，所以直线
⊥平面
.

21.（Ⅰ）函数
的定义域为
．因为
，所以
．

当
，即
时，函数
单调递增；

当
，即
时，函数
单调递减．

故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．

（Ⅱ）因为
，所以
，
，即
，
．

于是根据函数
，
，
在定义域上单调递增，可得

，
．

故这6个数的最大数在
与
之中，最小数在
与
之中．

由
及（Ⅰ）的结论，得
，即
．

由
，得
，所以
；

由
，得
，所以
．

综上，6个数中的最大数是
，最小数是
．

22．（Ⅰ）设点
，依题意得
，即
，

化简整理得
.

故点M的轨迹C的方程为

（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记

，

.

依题意，可设直线的方程为

由方程组
可得
①

（1）当
时，此时
把
代入轨迹C的方程，得
.

故此时直线
与轨迹恰好有一个公共点
.

（2）当
时，方程①的判别式为
. ②

设直线与轴的交点为
，则

由
，令
，得
. ③

（ⅰ）若
由②③解得
，或
.

即当
时，直线与
没有公共点，与
有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.

（ⅱ）若
或
由②③解得
，或
.

即当
时，直线与
只有一个公共点，与
有一个公共点.

当
时，直线与
有两个公共点，与
没有公共点.

故当