河北省唐山市2015届高三摸底考试数学（理）试题

说明：

1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.

2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.

3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.

4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1、已知集合M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x2≥0}，则M∪N＝( )

A.[－1，＋∞) B.[－1，
]

C.[－
，＋∞) D.(－∞，－
]∪[－1，＋∞)

2、复数z＝
，则( )

A.|z|＝2 B.z的实部为1

C.z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i

3、函数f(x)＝
是( )

A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数 B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数

C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数 D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数

4、抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )

A.(
，0) B.(
，0)或(－
，0)

C.(0，
) D.(0，
)或(0，－
)

5、已知
，则sin2x的值为( )

A.
B.
C.
D.

6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )

A.
B.
C.
D.

7、设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为( )

A.
B.
C.1 D.2

8、已知a＞0，x，y王满足约束条件
，且z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )

A.1 B.2 C.
D.

9、执行如图所示的程序框图，则输出的a＝( )

A.5 B.
C.
D.

10、将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移
个单位长度，所得图象关于
对称，则ω的最小值是( )

A.6 B.
C.
D.

11、已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.与a有关

12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( )

A.5π B.12π C.20π D.8π

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13、
的展开式中
的系数是___________.

14、实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.

15、已知双曲线C：
(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：
垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.

16、在△ABC中，
，点D在边BC上，
，
，
，则AC＋BC＝_________________.

三、解答题：本大题共70分，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17(本小题满分12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝kn(n＋1)－n(k∈R)，公差d为2.

(1)求an与k；

(2)若数列{bn}满足
，
(n≥2)，求bn.

18(本小题满分12分)

某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。

(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；

(2)设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).

19(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点.

(1)求证：A1B∥平面ADC1；

(2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.

20(本小题满分12分)

椭圆C：
(a＞b＞0)的离心率为
，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为
的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，

(1)求C的方程；

(2)证明：
为定值.

21(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)

(1)讨论函数的单调性；

(2)若f(x)≥0恒成立，证明：x1＜x2时，

请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.

(1)求证：AT2＝BT·AD；

(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：
(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为
(t为参数)，l与C分别交于M，N.

(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

24(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数
(m＞0)

(1)证明：f(x)≥4；

(2)若f（2）＞5，求m的取值范围。

唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

所以bn＝＋n(4n＝. …11分

明显，n＝1时，也成立．

综上所述，bn＝． …12分

（18）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i＝0，1，2，3，4，5），

则P(A2)＝＝． …4分

（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．

P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋＝；

P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P (A1)＋P(A4)＝ ＋＝；

P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P(A5)＝ ＋＝．

则随机变量ξ的分布列为

ξ

1

3

5



P









…10分

则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分

（19）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，

则点E是A1C及AC1的中点．

连接DE，则DE∥A1B．

因为DE(平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1． …4分

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，

C1(0，1，2) D(，，0)，

＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分

设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则

不妨取m＝(2，－2， 1)． …9分

易得平面ABA1的一个法向量n＝＝(0，1，0)． …10分

cos＝＝，

平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是． …12分

（20）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．

当m＝0时，l的方程为y＝x，

代入并整理得x2＝． …2分

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，

·＝－x－y＝－x＝－·．

又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，

椭圆C的方程为． …5分

（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y． …8分

则|PA|2＋|PB|2＝( y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]

＝[(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． …12分

（21）（本小题满分12分）解：

（Ⅰ）f((x)＝2ex－a．

若a≤0，则f((x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

若a＞0，则

当x∈(－∞，ln)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(ln，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增． …4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，故f(x)≥0不恒成立．

若a＞0，则由f(x)≥0＝f(0)知0应为极小值点，即ln＝0，

所以a＝2，且ex－1≥x，当且仅当x＝0时，取“＝”． …7分

当x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2(ex2－ex1)－2(x2－x1)

＝2ex1(ex2－x1－1)－2 (x2－x1)≥2ex1(x2－x1)－2(x2－x1)＝2(ex1－1) (x2－x1)，

所以＞2(ex1－1)． …12分

注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：

（Ⅰ）证明：

因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(.

所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：

（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*）

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． …10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：

（Ⅰ）由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|

≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，

当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． …4分

（Ⅱ）f(2)＝|2－|＋|2＋m|．

当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．

当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．

综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10分