一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
为奇函数,且当
时,
则
（ ）

A.
B.
C. D.

3．若有直线、和平面、
，下列四个命题中，正确的是 （ ）

A．若
，
，则

B．若
，
，
，
，则

C．若
，
，则

D．若
，
，
，则

4．在
中，“



”是“角A、B、C成等差数列”的 （ ）

A．充分不必要条件 B. 充要条件 C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5．直线
和直线
垂直，则实数的值为（ ）

A．1 B．0 C．2 D．-1或0

6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，

C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，

，

则二面角A-PB-C的大小的正弦值为（ ）

A、
B、
C、
D、

7．若
为等差数列,
是其前项和,且S15 =
,则tan
的值为( )

A．
B．
C．
D．

8．过点（
，0）引直线
与曲线
交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积

取最大值时，直线
的斜率等于（ ）

A.
B.
C.
D.

9．函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

10．在直角坐标平面中，
的两个顶点A、B的坐标分别为A（－1，0），

B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）
，

（2）
，（3）
，则
的顶点C的轨迹方程为（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11. 若角的终边经过点P
,则
的值是

12．一个组合体的三视图如图，则其体积为________________

13．若
则
的值为 ____ .

14. AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点
的弦，若
，
，则
= 。

15．已知实数、满足
，且
，则的最小值为

16．如右图，等边△
中，

，

则
_________

17．下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与轴交于点N（
），则的象就是，记作

给出下列命题：①
； ②
； ③
是奇函数； ④
在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是______________.（填出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题有5小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（14分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（2）设△
的内角
的对边分别为
且
，
，若
，求
的值。

19. （14分）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式
的解集为（1，3），

（1）若f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式，

（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

20．（14分）数列{
}的前项和为
，
是
和的等差中项，等差数列{
}满足
，
．

（1）求数列{
}，{
}的通项公式；

（2）若
，求数列
的前项和
.

21. （15分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG.（1）确定点G的位置；

（2）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.

22．（15分）在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；

(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.

2014学年第一学期十校联合体高三期初联考答案

理科数学试卷

（2）
，则
，…………9分

,
,所以
，

所以
，
，…………11分

因为
，所以由正弦定理得
，……①…………12分

由余弦定理得
，即
……②…………11分，由①②解得：
，
．…………14分

19. （14分）（1）设
，由不等式
的解集为（1，3）得

，又因f(x)+6a=0有两个相等的实根，则
，

解得
或
（舍去），所以
…………7分

（2）
，即
，又
，

所以
…………14分

∴数列
是以
为首项，为公比的等比数列，

………………………………………………………………………… 6分

设
的公差为
，
，
.

……………………………………………8分

（2）

…………………………14分

21. （15分）解法一：（1）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

………………3分

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点. …………6分

（2）设
是平面EFG的法向量，则

所以
平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）…………10分

∵

∴
， 即AC1与平面EFG所成角
为
………………15分

解法二：（1）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC …………1分

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.

又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.

∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1. ……3分

又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.…………4分

连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点. …………6分

（2）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，

C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，

∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ. ……………………12分

因为
……15分

22．（16分）(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，

又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.……………………3分

(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得

＋＝1，解得x＝±，

因此P，A.

于是C，直线AC的斜率为＝1，

故直线AB的方程为x－y－＝0.

因此，d＝＝.……………………7分

(3)解法一：

将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，

解得x＝± . .……………………9分

记μ＝，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，

于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为＝，

其方程为y＝(x－μ)，

代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，.……………………11分

解得x＝或x＝－μ，

因此B..……………………13分

于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.

因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. ……………………15分

解法二：

设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)，设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2，因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1

＝＋1＝＝＝0.

因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. ……………………15分