珠海市2014年9月高三摸底考试

文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项。

1. 已知集合
，

C

A.
B.
C.
D.

2. 为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（ ）A

A.9 B.8 C.10 D.7

3. 在等比数列
中，有
，则
的值为（　　　　）Ｃ

A.
B.
C.
D.

4. 已知复数
满足
，则
（ ）D

A.
B.
C.
D.

5. 下列函数中，定义域是
且为增函数的是（ ）B

A.
B.
C.
D.

6. 如右图为某几何体的三视图，则其体积为（　　　　）Ｄ

A．
B．
C．
D．

7. 设
,则“
”是“
”的（ ）B

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

8. 对任意的
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）D

A．
B．
C．
D．

9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）Ｂ

A．
B．
C．
D．

10. 设点
，若在圆
上存在点N，使得
,则
的取值范围是( )A

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答4小题，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 不等式组
表示的平面区域的面积为______________。11

12.在
中，
，
，
，则
。

13.若曲线
处的切线平行于直线
,则点
的坐标是_______。（１,０)

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线
的参数方程为
（
为参数）的普通方程为___________。

15. （几何证明选讲选做题）如右图，已知
，
是圆Ｏ的两条弦，
，
，
，则圆Ｏ的的半径等于________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）已知函数
，且

(1)求
的值；

(2)若角
的终边与单位圆的交于点
，求
。

解：（1）
……………4分

（2）由题意可知
，
，且由（1）得：
……６分

…………………………………………………10分

……………………………………………………………………………12分

17. （本题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：

甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

(2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？

17.解： （1）记甲被抽到的成绩为
，乙被抽到成绩为
，用数对
表示基本事件：

基本事件总数
　　　　　　　……………………3分

记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：

……………………4分

事件A包含的基本事件数
，所以
……………………5分

所以甲的成绩比乙高的概率为
………………6分

（2）①
，

　
………………7分

………………9分

……………11分

②
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。…………12分

18．（本题满分14分）在如图所示的多面体中，四边形
和
都为矩形。

(1)若
，证明：直线
平面
；

(2)是否存在过
的平面
，使得直线
平行，若存在请作出平面
并证明，若不存在请说明理由。

解：（Ⅰ）证明：因为四边形
和
都是矩形，

所以
……………………………………………………2分

因为
为平面
内的两条相交直线，

所以
…………………………………………………………4分

因为直线
平面
，所以

又由已知，
为平面
内的两条相交直线，

所以
平面
………………………………………………………7分

（Ⅱ）存在…………………………………8分

连接
，设
，取线段AB的中点M，连接
。

则平面
为为所求的平面
。…………………………………1１分

由作图可知
分别为
的中点，

所以
…………………………………13分

又因为

因此
…………………………………14分

19．（本题满分14分）已知
是首项为1，公差为2的等差数列，
表示
的前
项和。

(1)求
及
；

(2) 设数列
的前
项和为
，求证：当
都有
成立。

解：（1）∵
是首项
，公差
的等差数列，

∴
…………………………………………………３分

故
………………６分

（2）由（Ⅰ）得，
……………………………………7分

……………………10分

…………………12分

…………………………14分

20．（本题满分14分）设
,
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
两点，
，且
的周长为16

(1)求
；

(2)若直线
的斜率为
，求椭圆
的方程。

解：(1)由
，得：
……………………………1分

因为
的周长为16，所以由椭圆定义可得
…………3分

故
…………………………………………4分

(2)由(1)可设椭圆方程为
，
，其中

设直线
的方程为
，即
，……………………………………………5分

代入椭圆方程得：

…………………………………………6分

整理得：

……………………………………8分

，
………………………………10分

由
知
，

得
……………………12分

又由于
解得
，

所以椭圆的方程为
……………………………………14分

21．（本题满分14分）设函数
，其中

(1)求
在的单调区间；

(2)当
时，求
最小值及取得时的
的值。

解：（1）
的定义域为
，
………………………1分

令
，得

令
，得
或
………………………………………………………2分

令
，得
…………………………………………………………3分

故
为
单调递增区间，
为
单调递减区间。…………5分

（2）因为
，所以

（ⅰ）当
时，由（１）知，
在[１，3]上单调递减，…………………7分

所以
在
时取得最小值，………………………………………8分

最小值为：
…………………………………………………9分

（ⅱ）当
时，

由（Ⅰ）知，
在[0，
]上单调递减，在[
，３]上单调递增，……………………11分

所以
在
处取得最小值，最小值为：…………………………12分

又
，…………………………………………………13分

所以当
时，
在
处取得最小值
；

当
时，
在
处取得最小值
。…………14分