2014-2015学年度第一学期

执信中学高三级数学科（文科）9月月考试卷

参考公式： 样本数据
的标准差
，其中
表示样本均值．

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）

A．
B．

C．
D．

2. 若复数
是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为（　　　）

A. 6 　　 B. -6 　 C．3 　　　　 D. -3

3. 由
三个数字组成的无重复数字的两位数中,任取一个数,恰为偶数的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
、
是不同的平面，
、
是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）

A．若
∥
则
. B．若
∥
则
∥

C．若
∥
，
，则
. D．若

则
∥
.

5．
是
成立的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.已知向量
,
，如果向量
与
垂直，则
的值为

A．1 B．
C.
D．

7. 函数
的零点属于区间
，则
( )

A?? 0 B 1 C 2 D 3

8.已知函数
，将
的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着
轴向左平移
个单位，这样得到的是
的图象，那么函数
的解析式是

A.
B.

C.
D.

9.设等比数列
的前
项和为
，若
，则
＝( )A．3:4 B．2:3 C．1:2 D．1:3

10.已知P为抛物线
上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是
，则
的最小值是（ ）

A． 8 B．
C． 10 D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

(一)必做题（11～13题）

11.设
是第三象限角，
，则
= ．

12．
是以
，
，
为顶点的三角形及其内部上的任一点，则
的最大值为 ．

13.已知函数
的值域是
，则实数m的取值范围是

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系
中圆
的参数方程为：
，（
为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
，则圆
截直线所得弦长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的直径，

是圆
的切线，切点为
，
平行于弦
，

若
，
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）设函数

（1）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（2）当
,且
时,求
的值.

17．（本小题满分12分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用
表示编号为

的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号

1

2

3

4

5



成绩

70

76

72

70

72



（1）求第6位同学的成绩
，及这6位同学成绩的标准差
；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥
中，底面
是

直角梯形，
，
，
，

，
平面
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）若M是PC的中点，求三棱锥M—ACD的体积．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列
的首项
公差
且
分别是等比数列
的

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设数列
对任意正整数
均有
成立，求
的值

20. （本小题满分14分）

已知圆C与两圆
，
外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点
的距离的最小值为
，点
与点
的距离为
.

(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；

（Ⅱ）求满足条件
的点
的轨迹Q的方程；

（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点
，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

21、（本题满分14分）设函数
（
），
．

(1) 若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求
的值；

(2) 关于
的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数
的取值范围；

(3) 对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

2015届高三上学期9月月考

文科数学答案

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

B

C

D

B

D

A

B





二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

(一)必做题（11～13题

11、
12、14 13、

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.
15. 4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．解：依题意

………2分

（1） 函数
的值域是
； ………4分

令
，解得
………7分

所以函数
的单调增区间为
. ………8分

（2）由
得
,

因为
所以
得
, ………10分

………12分

17、解：（1）
，解得

标准差

（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为
，
且

则基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共10种

这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中

设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”

则A中的基本事件有
、
、
、
共4种，则

所以选取2人中至少一人在（68，75）中的概率为
……………12分

18．（1）证明：
，且

平面

∴
平面
. …………………………………………………3分

（2）证明：在直角梯形
中，过
作
于点
，则四边形
为矩形

∴
，又
，∴
，在Rt△
中，
，

∴
，
……………………………………………………4分

∴
， 则
，

∴
……………………………………………………………………6分

又

∴
………………………………………7分

∴
平面
………………………………………………………………9分

（3）∵
是
中点，

∴
到面
的距离是
到面
距离的一半. ………………………11分

. ………………………14

19.解：（1）∵
，且
成等比数列，

∴
，即
， ……………2分

∴
……………………4分

又∵
∴
………………6分

（2）∵
， ①

∴
，即
，又
， ②

①
②得
……………………………………………9分

∴
，∴
，………………………………11分

则

………………14分

20解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为
、
，由题意得
，可知圆心C的轨迹是线段
的垂直平分线，
的中点为
，直线
的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段
的垂直平分线方程为
，即圆C的圆心轨迹L的方程为
。(4分)

（Ⅱ）因为
，所以
到直线
的距离与到点
的距离相等，故点
的轨迹Q是以