泉州市2014届高三3月质检数学试卷

一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z=
（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 　　D． 第四象限

2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（　　）

　 A． {x|x＜﹣1} B． {x|x＜3} 　　C． {x|﹣1＜x＜3} D． ?　

3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（　　）

　 A． ﹣1 　　　　B． 0.5 　　　　C． 2 　　　　　　D． 10

4．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（　　）

　 A． 216 　　　　B． 96　　　 C． 81 　　　　　　D． 16

5．已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（　　）

　 A． 31 　　　　B． 15 　　　　C． 11 　　　　　　D． 5

已知某产品连续4个月的广告费用xi（千元）与销售额yi（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：

①
xi=18，
yi=14；

②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；

③回归直线方程
=
x+
中的
=0.8（用最小二乘法求得）．

那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（　　）

　 A． 3.5万元 　　B． 4.7万元　　 C． 4.9万元 　　　　D． 6.5万元

7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（　　）

　 A． “l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

　 B． “l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件

　 C． “m∥α”是“l∥m”的充要条件

　 D． “l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件

8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥P﹣AB1D1的体积等于（　　）

　　 A．
B．
　C．
　　　 D．

9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan
的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为
的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（　　）

　　 A．
B．
C．
D．

10．（2014?泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=
（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（　　）



　　 A．
　　B．
C．
　　D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置．

11．（4分）（2014?泉州一模）
（x2+sinx）dx=　_________　．

12．（4分）（2014?泉州一模）若对满足不等式组
的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为　_________　．

13．（4分）（2014?泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2﹣y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=　_________　．

14．（4分）（2014?泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为
，高DD1=1的长方体CDEF﹣C1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为　_________　．

15．（4分）（2014?泉州一模）定义一种向量运算“?”：
?
=
（
，
是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量
，
，
，
，给出下列结论：

①
?
=
?
；　　　　　　　②λ（
?
）=（λ
）?
（λ∈R）；

③（
+
）?
=
?
+
?
　　④若
是单位向量，则|
?
|≤|
|+1

以上结论一定正确的是　_________　．（填上所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（13分）（2014?泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．

（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；

（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．

17．（13分）（2014?泉州一模）已知函数f（x）=2sin
?cos
﹣2
cos2
+
（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．

（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求
在
方向上的抽影n的值．

18．（13分）（2014?泉州一模）已知M（0，
），N（0，﹣
），G（x，y），直线MG与NG的斜率之积等于﹣
．

（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且
=
，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．

19．（13分）（2014?泉州一模）设函数f（x）=﹣xn+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．

（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的最小值；

（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤
对任意x∈[﹣1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0．

20．（14分）（2014?泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．

（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．

①求证：OM∥平面A′B′N；

②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；

（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．

　本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】

21．（7分）（2014?泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．

（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；

（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（7分）（2014?泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））

【选修4-5：不等式选讲】

23．（2014?泉州一模）设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．