2015届高三上学期六校第一次联考

文科数学试卷

六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

参考公式：椎体体积公式：

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1、集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知复数
的实部是
，虚部是
，则
（其中
为虚数单位）在复平面对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、函数
（
且
）的定义域是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4、圆
上的点到直线
的距离最大为 （　　）

A．
B．
C．
D．

5、“平面向量
平行”是“平面向量
满足
”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积

是（ ）

A．
　　 B.
C．
D.
第6题图

7、已知实数
满足约束条件
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知
，
，且
与
垂直，则
与
的夹角是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10、定义在R上的奇函数
和定义在
上的偶函数
分别满足
，

，若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

(一)必做题（11～13题）

11、已知
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，

且
，
，
，则
．

12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，

则输入的整数
的最大值为 ．

13、若不等式
对任意的
恒成立，

则
的最大值是 ．

第12题图

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
=
与圆
相切于极轴上方，

则
．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上异于
的点，
，

垂足为
. 若
，
，则半圆
的面积为 ．

第15题图

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（本题满分12分）

已知函数

的最大值是2，且
．

（1）求
的值；

（2）已知锐角
的三个内角分别为
，
，
，若
，求
的值．

17、（本题满分12分）

某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

有关系

无关系

不知道



40岁以下

800

450

200



40岁以上（含40岁）

100

150

300



（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；

（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.

18、（本题满分14分）

如图，直角梯形
中，
,
,平面
平面
,
为等边三角形，
分别是
的中点，
.

(1)证明：

;

(2)证明：
平面
;

(3)若
,求几何体
的体积.

19、（本题满分14分）

已知各项均为正数的等差数列
满足：
，各项均为正数的等比数列
满足：
，
.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）若数列
满足：
，其前
项和为
，证明
.

20、（本题满分14分）

已知抛物线C:
与直线
相切，且知点
和直线
，若动点
在抛物线C上（除原点外），点
处的切线记为
，过点
且与直线
垂直的直线记为
.

(1)求抛物线C的方程；

（2）求证：直线
相交于同一点.

21、（本题满分14分）

已知函数
和

（1）若函数
在区间
不单调，求
的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求
的最大值.

2015届高三上学期六校第一次联考

文科数学答案

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

A

C

B

D

A

D

C

B





二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

(一)必做题（11～13题）

11、
12、5 13、9

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14、2 15、

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、解：（1）∵函数
的最大值是2，

∴
……………………………………………………………………………………………2分

∵

又∵
∴
……………………………………………………………4分

（2）由（1）可知
…………………………………………6分

，∴
……………8分

∵

∴
，
………10分

∴

…………………………………………………………………12分

17、解：（Ⅰ）由题意，得

…………………………2分

从持“无关系”态度的人中，应抽取
人…………………………3分

从持“不知道”态度的人中，应抽取
人…………………………4分

（Ⅱ）设所选取的人中，有m人在40岁以下，则
，解得m=2. ……6分

就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作
则从中任取2人的所有基本事件为

共10个……………………………………………………………………………9分

其中至少有1人在40岁以下的基本事件为

共7个 …………………11分

记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为
,则

所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为
………………………12分

18、(1)证明：

为等边三角形，
是
的中点

………………………………………………………………1分

又因为平面
平面
，交线为
,
平面

根据面面垂直的性质定理得
平面
; ………………………3分

又

平面

………………………………………………………………4分

(2)证明：取
中点G，连接

,且
………………6分

,

,且
………………8分

四边形
是平行四边形

………………9分

又

平面
，
平面

平面
………………10分

(3)解：依题，直角梯形
中，

则直角梯形
的面积为
……12分

由（1）可知
平面
，
是四棱锥
的高

在等边
中，由边长
,得
………13分

故几何体
的体积为

………14分

1