上海交通大学附属中学2014-2015学年度一学期

高三数学摸底考试卷

（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1．函数
的反函数
________________．

答案：

解：∵
，∴
，由
得
，故

2. 函数
的最小值_________

答案：

?

3. 若
，则
的取值范围是___________

答案：
?

4．若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为 ．

答案：-1

解：因为对任意正实数
，不等式
恒成立，所以
，因此
?

5．同时满足（1）

答案：15

6．集合
，
．若“a＝1”是“
”的充分条件，则实数b的取值范围是 ．

答案：

解：“a＝1”是“
”的充分条件的意思是说当
时，
，现在
，
，由
得
或
，即
或
，所以
的范围是
.?

7．已知
，则
．

答案：

解：由
可得
，所以

?

8．方程
有解，则
________

答案：
?

9. 如果

答案：
?

10．函数
图像的对称中心是 ．

答案：

解：因为函数
为奇函数，对称中心是
，因此函数
图像的对称中心是
.?

11.

答案：
?

12.

答案：
?

13. 关于函数

必定是
的整数倍；（2）
的表达式可改写为
；

（4）



____________

答案：（2），（3） ?

14.已知等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和记为
，又设

，
的所有非空子集中的最小元素的和为
，则
的最小正整数
为 ．

答案:45

解：由题意有
，对于和
，我们首先把
中的元素按从小到大顺序排列，当
时，
，对于
中的任一元素

，比它大的有
个，这
个元素组成的集合的所有子集有
个，把
加进这些子集形成新的集合，每个都是以
为最小元素的
的子集，而最小元素为
的
的子集也只有这些，故在
中
出现
次，所以

，
时，
适合上式，
时，
．当
，
不成立，当
时，
，
，由于
，

，
，所以
，最小的
为
．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15．下列说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
”

B．“
”是“
”的必要不充分条件

C．命题“若
，则
”的逆否命题是真命题

D．“
”是“
”的充分不必要条件

答案：C

解：
中，否命题应该是“若
，则
”，
错；
中
时，有
，故至少是充分的，
错；
中“若
，则
”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选
，而
应该是必要不充分条件．

16.
若
是
的最小值，则
的取值范围为（ ）.

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)

答案：D

解：由于当
时，
在
时取得最小值
，由题意当
时，
应该是递减的，则
，此时最小值为
，因此
，解得
，选D．?

17.?? 如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则（ ）

A．
和
都是锐角三角形

B．
和
都是钝角三角形

C．
是钝角三角形，
是锐角三角形

D．
是锐角三角形，
是钝角三角形

答案：D

解：
(
是锐角三角形

如果
是锐角三角形，则
，
，
，不可能成立；

如果
是直角三角形，不妨设
，则
，A1=0不合题意；

所以
是钝角三角形。（可求出钝角的大小为135°）?

18. 定义一种新运算：
，已知函数
，若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为（ ）.

A.(1,2] B.
． C.
D.

答案：B

解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中
实质上就是取
中的最小值，因此
就是
与
中的最小值，函数
在
上是减函数，函数
在
上是增函数，且
，因此当
时，
，
时，
，因此
，由函数的单调性知
时
取得最大值
，又
时，
是增函数，且
，，又
时，
是减函数，且
.函数
恰有两个零点，说明函数
的图象与直线
有两个交点，从函数
的性质知
.选B.

三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 解关于x的不等式：

解：

?

20．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，

（1）求
的大小；

（2）若
，求
的取值范围.

答案：（1）
；（2）
.

解：（1）由已知条件结合正弦定理有：
，从而有：

，
.

（2）由正弦定理得：
，
，

，即：
.

21．数列
的首项
,

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设
的前
项和为
,若
的最小值为
，求
的取值范围？

答案：(1)
；（2）
.

解：（1）

又
，

则
即奇数项成等差，偶数项成等差

（或:
）

?

（2）当
为偶数，即
时：

当
为奇数，即
时：

22．阅读：

已知
、
，
，求
的最小值.

解法如下：
，

当且仅当
，即
时取到等号，

则
的最小值为
.

?

应用上述解法，求解下列问题：

（1）已知
，
，求
的最小值；

（2）已知
，求函数
的最小值；

（3）已知正数
、
、
，
，

求证：
.

答案：（1）9；（2）18；（3）证明见解析.

解：（1）
，

2分

而
，

当且仅当
时取到等号，则
，即
的最小值为
.

（2）
，

而
，
，

当且仅当
，即
时取到等号，则
，

所以函数
的最小值为
.

（3）

当且仅当
时取到等号，则
.

?

23．已知函数
满足2
+
，对x≠0恒成立，在数列{an}、{bn}中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，
，
。

（1）求函数
解析式；

（2）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（3）若对任意实数
,总存在自然数k,当n≥k时,
恒成立，求k的最小值。

答案:（1）
（2）

（3）3

解：（1）
，∴
，联立解得

（2）∵
，∴
，

∴
是以1为首项、2为公差的等差数列，
，∴

又

，

?相加有
，∴

（3）对任意实数λ∈[0，1]时，
恒成立，

则
恒成立，变形为
，
恒成立。

设
，

∴
，

∴
∴
或
，n∈N+

?故kmin=3