大庆实验中学2014届高三高考最后一次冲刺模拟考试

理数试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，
，且
，则

A．1 B．2 C．3 D．9

2．在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．函数
，
的值域是

A．
B．
C．
D．

5．在
的展开式中，
的系数是

A．20 B．
C．10 D．

6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，

则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于(　　)

A. B. C. D.

8．设不等式组
表示的平面区域为D．若圆C：
不经过区域D上的点，则r的取值范围是

A．
B．

C．
D．

9．若
表示直线，表示平面，且
，则“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．已知, 圆
内的曲线
与轴围成的阴影部分区域记为 (如图),随机往圆内投掷一个点,则点落在区域的概率为

A．
B．
.
C D．

11．已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是

A．
B．2 C．
D．

12．已知方程
在
有两个不同的解
（
），则下面结论正确的是：

A．
B．

C．
D．

非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设数列
满足
，
，则
　　　　．

14．若某程序框图如图所示，则运行结果为　　　　．

15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为　　　　．

16．已知点
和圆
：
，
是圆
的直径，
和
是
的三等分点，（异于
）是圆
上的动点，
于，
，直线
与
交于
，则当
　　　　时，
为定值．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

在△
中，角
所对的边分别为
，满足
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求
的取值范围．

18．（本题满分12分）

一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量为取出3球中白球的个数，已知
．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列及其数学期望．

19．（本题满分12分）

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量
,点H在AD上,且

(I)EF//平面PAD.

(II)若PH=
,AD=2, AB=2, CD=2AB,

(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角的余弦值.

20．（本题满分12分）

如图，已知抛物线
的焦点在抛物线
上，点是抛物线
上的动点．

（Ⅰ）求抛物线
的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线
的两条切线，
、分别为两个切点，设点到直线
的距离为
，求
的最小值．

21．（本题满分12分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值点；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是圆
上三个点，
是
的平分线，交圆
于，过做直线
交
延长线于，使
平分
.

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，
，
，求
的长.

（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点
为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆
的方程为
. 设圆C与直线l交于点，，且
.

（1）求
中点
的极坐标；

（2）求|
|＋|
|的值.

24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数
，
，且
的解集为
.

（1）求的值；

（2）若
，且

求证:
.

2014年高三仿真模拟

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．B；2．B；3．C；4．A；5．D；6．A；7．C；8．C 9．D；10．B；11．A．12．A

第9题提示：动直线的轨迹是以点为顶点、以平行于的直线为轴的两个圆锥面，而点
的轨迹就是这两个圆锥面与平面的交线．

第12题提示：数列
共有
项，它们的乘积为
．经过
次变换，产生了有
项的一个新数列，它们的乘积也为
．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是
，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为
，乘积均为
，故答案为
．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．81； 14．5； 15．36； 16．
．

第17题提示：设
，则
，
…①

…② 由①②得
，

将
代入，得
．由
，得到
．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）

，化简得
， …4分

所以
，
． …7分

（Ⅱ）


． …11分

因为
，
，所以
．

故，
的取值范围是
． …14分

18． 解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则
， …4分

即
，解得
． …7分

（Ⅱ）随机变量
的分布列如下： …11分

0

1

2

3

















． …14分

19.【答案】(Ⅰ) 取PA的中点Q,连结EQ、DQ,

则E是PB的中点,

,
四边形EQDF为平行四边形,

,
,

(Ⅱ)⑴解法一:证明:
,


PH⊥AD,

又AB⊥平面PAD,
平面PAD,
AB⊥PH,

又PHAD=H,
PH⊥平面ABCD; ---------------------------------

连结AE

又
且

由(Ⅰ)知

, 又

在

又

(2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线.

因为
,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4,

在
中:
,


,

又因为
,所以

即为所求的二面角的平面角.

所以在
中:

解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得
又

在平面ABCD内过点

,以H为原点,以
正方向建立空间直角坐标系

设平面PAB的一个法向量为

,

得y=0 令
得x=3

设直线AF与平面PAB所成的角为

则

(9分 )

(2) 显然向量
为平面PAD的一个法向量,且

设平面PBC的一个法向量为
,

,
,

由
得到

由
得到
,令
,则

所以
,

所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为
(14分 )

20． 解：（Ⅰ）
的焦点为
， …2分

所以
，
． …4分

故
的方程为
，其准线方程为
． …6分

（Ⅱ）设
，
，
，

则
的方程：
，

所以
，即
．

同理，
：
，
． …8分

的方程：
，

即
．

由
，得
，
． …10分

所以直线
的方程为
． …12分

于是
．

令
，则
（当
时取等号）．

所以，的最小值为
． …15分

21．解：（Ⅰ）若
，则
，
．

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减． …2分

又因为
，
，所以

当
时，
；当
时，
；

当
时，
；当
时，
． …4分

故
的极小值点为1和，极大值点为
． …6分

（Ⅱ）不等式
，

整理为
．…（*）

设
，

则
（
）

． …8分

①当
时，

，又
，所以，

当
时，
，
递增；

当
时，
，
递减．

从而
．

故，
恒成立． …11分

②当
时，

．

令
，解得
，则当
时，
；

再令
，解得
，则当
时，
．

取
，则当
时，
．

所以，当
时，