山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（理科）A卷

命题： 康杰中学　临汾一中 长治二中 忻州一中

【满分150分，考试时间120分】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1．集合A={x|x2-2x>0},B={y|y= 2 x,x>0}，R是实数集，则(CRB)∪A等于（ ）

A．R B．(-∞,0)∪1,+∞) C．(0,1 D．(-∞,1∪(2,+∞)

2. 已知是复数z的共轭复数, z++ z ·=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

3．设公比
的等比数列{
}的前项和为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.命题p：(x(R,sinx-cosx<

命题q：“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分条件

则下列命题中，真命题是

A．((q)(p B．p(q C．((p)(((q) D．((p)( ((q)

5．某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是

A．70 B．75

C．68 D．66

6．在长为8的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC、BC的长，则该矩形面积大于15的概率 ( )

A． B． C． D．

7．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图像沿轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数g(x)的图像关于直线x= 对称，则m的最小值为　　（　　　）

Ａ．
　 Ｂ．
　　 Ｃ．
Ｄ．

9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）

 B．

C． D．

10．已知四边形ABCD，(BAD=120o，(BCD=60o，AB＝AD＝２，则AC的最大值为（　　　）

A． B．４　 C．　 　D．８

11．已知双曲线 ( =1(a>0,b>0)，右焦点F到渐近线的距离小于等于a,则该双曲线离心率的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

12．若f(x)满足x2f ((x)—2xf(x)=x3ex，f(2)= —2e 2.则x>0时，f(x) ( )

Ａ．有极大值，无极小值

Ｂ．有极小值，无极大值

Ｃ．既有极大值，又有极小值

Ｄ．既无极大值，也无极小值

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13．(2x+)6展开式中的常数项等于________

14．(ABC中，||cos(ACB=||cos(CAB=，且·=0，则AB长为 _

15．已知直线x+y+2a-b=0(b(R,0≤a≤2)与圆x2+y2=2有交点，则a+b的最大值为

16．四棱锥P-ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且(DAB=60o，各侧面和底面所成角均为60o，则此棱锥内切球体积为

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12， q=．

（1）求an与bn；

（2）求++…+的取值范围．

18．为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试

⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

优秀

非优秀

总计



甲班









乙班



30





总计

60







⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为，得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望E（X）.

附: k2= , n=a+b+c+d

P(K2>k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879





19．（本题满分１２分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，在(PAD中+=2，且AD=2PE

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)如果AB=BC,(PAD=60o，求DC与平面PBE的正弦值

20．已知点P在圆x2+y2=1上运动，DP⊥y轴，垂足为D,点M在线段DP上，且=

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）直线l与y轴交于点Q(0，m)(m≠0)，与点M的轨迹交于相异的两点A,B，且=λ,若+λ=4.求m的取值范围.

21.已知函数
（为自然对数的底），
（为常数），
是实数集上的奇函数.

⑴ 求证：

；

⑵ 讨论关于的方程：

的根的个数；

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知a2+b2=1, c2+d2=1.

（1）求证ab+cd≤1

（2）求a+b的取值范围．

2013-2014学年第四次四校联考

数学试题答案（理）A卷

命题： 康杰中学　临汾一中 长治二中 忻州一中

【满分150分，考试时间120分】

一、选择题

D A AD C B DＡD B C B

【答案】

二、填空题:

13．60 14． 15．8 16．

三、解答题

17．解：（1）设｛an｝的公差为d，

∵b2+S2=12， q=

∴ ，解得q=3或q=-4(舍)，d=3.

故an=3n,bn=3n-1 ……………4分

（2）Sn==,∴==(-)

∴++…+=(1-+-+…+-)=(1-) ……………8分

∵n≥1,∴0<≤, ≤1-<1

∴≤(1-)<,

即≤++…+< ……………12分

18．解（1）2×2列联表如下

优秀

非优秀

总计



甲班

40

20

60



乙班

20

30

50



总计

60

50

110



由
算得，

，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R分别表示小王，小张，小李通过预选，则P（M）=， P（N）=P（R）=  （5分）

∴随机变量X的取值为0，1，2，3 （6分）

所以P(x=0)=P()=×× = , P(x=1)=P(M+N+R)= ××+××+××= , P(x=2)=P(MN+NR+MR)= ××+××+×× = , P(x=3)=P(MNR)= ×× =  （10分）

所以随机变量X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











E(X) =0×+1×+2×+3× =  （12分）

19．解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形

所以CD⊥AD，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，

所以CD⊥PA，

因为在(PAD中，+=2，且AD=2PE

所以PD⊥PA

而CD∩PD=D

所以PA⊥平面PCD，

∵PA(平面PAB

所以平面PAB⊥平面PCD……………………………………4分

（2）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-XYZ，

设AB=4,

则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0)

在Rt(APD中AD=4, (PAD=60o,∴P(0,1,) ……………6分

∴=(-4,1,),=(-4,2,0)

设平面PBE的一个法向量为=(x,y,z)

由，得. 令y=2得x=1,z=,∴ =(1,2, )…………10分

而=(4,0,0),

∴cos<,>=  = 

∴DC与平面PBE的正弦值为……………12分

20．解：（Ⅰ）设M(x,y)，P(x0,y0)，

则

得

又P(x0,y0)在圆x2+y2=1上

∴y2+2x2=1

∴点M的轨迹方程为y2+2x2=1 ………4分

（Ⅱ）设直线l与点M的轨迹交于相异的两点A(x1,y1,B(x2,y2).把y=kx+m代入y2+2x2=1得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0,∴(=4(k2-2m2+2)>0 ………6分

x1+x2 = , x1(x2=

∵=λ,∴+λ=(1+λ),

又+λ=4.∴λ=3,即=3，

∴x1=-3x2, ………8分

由得4k2m2+2m2-k2-2=0 ………10分

当m2= 时，4k2m2+2m2-k2-2= - <0，不合题意

当m2≠ 时，k2= ,由①得k2>2m2-2，∴>2m2-2，解得m((-1,-)∪(,1)

∴m的取值范围为 (-1,-)∪(,1) ………12分

21.⑴ 证明：设
，则
，

∵当
时，
，当
时，
，∴F(x)min=F(0)=0

∴F(x)(0,即
； ………6分

⑵ 解：∵
是实数集上的奇函数，∴
，
，

∴方程为
，即
.

设
，则由
得，x=e， ………8分

又∵当
时，
，当
时，
，

∴
，

设
，则
，………10分

∴① 当
时，原方程无解；

② 当
时，方程有且只有一根
；

③ 当
时，方程有两根； ………12分

请考生在（22