山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（文科）A卷

命题：长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中

考试时间120分钟，满分150分

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1．复数满足
(为虚数单位)，则 =

A．
B．
C．
D．

2．已知全集
,集合
，
，则右图中阴影部分表示的集合为

A．
B．

C．
D．

3．命题“
,使得
”的否定是

A．“
使得
”

B．“
使得
”

C．“
,使得
”

D．“
,使得
>0”

4．设公比
的等比数列
的前项和为
，则

A．
B．
C．
D．

5．某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是

A．70 B．75

C．66 D．68

6．将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为

A.
B.

C.
D.

7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的

结果为
，则判断框中应填入的条件是

A．
？ 　 B．
？

C．
？ 　 D．
？

8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

9．函数
的图像大致为

10.已知双曲线

以及双曲线

的渐近线将第一象限三等分，则双曲线
的离心率为

A． 2或
B．
或

C．
或
D． 2或

11．已知函数
满足
，
关于轴对称，

当
时，
，则下列结论中正确的是

A．
B．

C．
D．

12．已知曲线
与轴的交点为
，分别由
两点向直线
作垂线，垂足为
，沿直线
将平面
折起，使
，则四面体
的外接球的表面积为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数
则不等式
的解集为 ．

14．已知实数
满足约束条件
，则
的最小值是　　　　　　．

15．在
中, +=2，||=1,点P在AM上且满足=2,

则?(+)=　　　　　　．

16．已知
为数列
的前项和，
，
且
，则
　　　　　　．

三、解答题（本大题共70分）

17．(本小题满分12分) 在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足

.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若
，求
．

18．(本小题满分12分) 太原市启动重污染天气Ⅱ级应急响应，大力发展公共交通.为了调查市民乘公交车的候车情况，交通部门从在某站台等车的60名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：

组别

一

二

三

四

五

六



候车时间















人数

2

5

3

2

2

1



（Ⅰ）为了线路合理设置，估计这60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数．

（Ⅱ）若从上表第三、四组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率.

19．(本小题满分12分)

如图，在几何体
中，
,为线段
的中点，
.

（Ⅰ）求证：
.

(II)求几何体
的体积.

20．（本小题满分12分）

设点
，动圆经过点且和直线
相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

(II) 过点
的直线
与曲线
交于、两点，且直线
与轴交于点
,

设
，
，求证：
为定值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若
是
的极值点，求的值；

(II) 若
，
恒成立，求的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点，经过点
的割线
交圆
于点
,
的平分线分别交
于点
，

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若
，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程是
圆C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
,

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求
的取值范围．

2013-2014学年四校四联数学(文科)参考答案A

一、选择题（本大题共60分）

1-5 BACAD 5-10 CBBBD 11-12 AC

二、填空题（本大题共20分）

13
或
14．
15.
16.

三、解答题（本大题共70分）

17．（Ⅰ）解：

∵cos2A+2sin2((+B)+2cos2(+C)-1=2sinBsinC

∴sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC …………2分

由正弦定理得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理得cosA= …………4分

∵0

（Ⅱ）∵a2= b2+c2-2bccosA=16+25-2×4×5×=21,∵a=

由=，得sinB= …………12分

18．解：（Ⅰ）从60名候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为
，

则60名乘客中候车时间不少于12分钟的人数为3(
=12人。 ……………4分。

（Ⅱ）记第三组的3个人为
,第四组的2个人为
，则从这五个人中随机抽取2人的基本事件
，
，
，
，
，
，
，


共10种， ……7分

设事件”从五个人中随机抽取2人,这两个人恰好来自不同组”为事件,包含六个基本事件：
，
，
，
，

……10分

则抽到的2人恰好来自不同组的概率
……12分

19．解：（Ⅰ）

…………3分

…………4分

…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

……8分

……12分

20．（Ｉ）解：设动圆圆心
，由抛物线定义得：点轨迹
是以
为焦

点以
为准线的抛物线，方程为
　　 4分

（Ⅱ）设直线
的方程为：

，

联立方程可得
得:
①

设
，
，
，

则
，
② …………8分

由
，
得，

，
………10分

即得：
，
，

则

代入得
，故
为定值且定值为
……12分

21．解：（Ｉ）
……2分，

因为
是
的极值点，所以
……3分，

解
得
……4分，

（Ⅱ）依题意
，

……5分

时，
恒成立 ……6分

且
时，由

得
……7分

设
，
，
……8分，

当
时
，当
时

所以
，
……10分

所以，当
且
时，
，从而
……11分，

综上所述，的取值范围为
……12分．

22．解：（Ｉ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C

又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.

∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.

∴∠ADE=∠AED ……………5分

（Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴(APC∽(BPA,=,

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,

由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,

∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o,∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,

∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,

在Rt(ABC中, =,∴= ……………10分

23．解：（Ｉ）∵ρ=2cos(θ+)

∴ρ= cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ …………(2分)

∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0 …………(3分)

∴圆心C的直角坐标为(,- ) …………(5分)

（Ⅱ）法一： 由直线上的点向圆C引切线长为

==≥2,

∴直线上的点向圆C引切线长的最小值为2 …………（10分）

法二：直线l的普通方程为x-y+4=0, …………(6分)

圆心C到
距离是
， …………(8分)

∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是
…………（10分）

24．解：（Ｉ）∵a2+b2≥2ab,

c2+d2≥2cd

∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=时取“=” …………（2分）

又∵a2+b2=1, c2+d2=1

∴2(ab+cd)≤2 …………（4分）

∴ab+cd≤1 …………（5分）

（Ⅱ）设=(a,b),=(1,),

∵|(|≤||(||, …………（8分）

∴|a+b|≤2=2 ∴-2≤a+b≤2

∴a+b的取值范围为-2，2 …………（10分）