2014届高中毕业班联考(三) 数学(理科)

参考答案及评分细则

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟

第I卷 (选择题 共50分)

4.【答案】D

【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为：

5. 【答案】A

【解析】因为

6.【答案】B

【解析】由题意
，所以二项式为
，设展开式中第项为

所以
，令
，解得
。代入得
的系数为：
＝1120

7.【答案】B

【解析】视角一:观察载体图:重叠部分面积始终不为0，排除C。因圆的最初位置的重叠部分面积最大，故面积是由最大开始减少的，排除A。由最初位置，圆滚动时露在三角形外的弓形面积每相同前移动量增加就越多，是非线性的，排除D。故选B.

视角一:函数图像应具以下特征:周期性变化，函数值不为0，从初始位置开始是先减少的，非线性变化，故选B。

视角三:从最多共性入手，从初始位置开始函数值是先减少的有B、C、D，非线性的有A、B、C，函数值不为0的有A、B、D，可见共性最全的只有B，故选B.

8. 【答案】A

【解析】依题由
有两个不同的的解，消去y整理得

,又
解得
且
,

又
且
即离心率e的取值范围为

9.【答案】C

【解析】设直线AO交直线BC于点P，且因为点B、C、P共线，

所以可设
=
+ (l-x)
又因为点A、O、P三点共线，可设
=t
所以由
=
+
及
=
+ (lx)
得
解得t =
+ ,所以
=(
+)
。

又因为
=

=
(
+)
=

，

所以|
|=|
|.|
| 。所以
,故选C .

10.【答案】D

【解析】作出函数f(x)的图象，得
由a>b>1,且f(a)=f(b),得

整理得
,

设
则
=
1=
,

，
,所以

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分

(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果选做，则按前两题记分)

11.【答案】

【解析】：圆O：
，圆心O：
，直线：

圆心到直线的距离：

12.【答案】

【解析】因为(|x|+|x-1|)的最小值为l，所以
，

13.【答案】4

【解析】连接AC，则AC⊥BC．由条件得AC＝4
,

∠DCA=60°，所以DC＝2
,，DA=6．由切割线定理，

求得DE＝2，可得AE=AD-DE?=4

(二)必做题(13-16题)

14. 【答案】

15.【答案】

【解析】

解法一：
令
则问题转化为在
条件下求
的最小值。如图所示
则

解法二：由柯西不等式
，由
可知
，

当且仅当
即
时取“＝”号。

16.【答案】（1）3个 （2）393个

【解析】（1）当
时，因为
，
，

所以
，
，所以
或
或

所以满足条件的所有数列
的个数为3个；

(2)令
，则对每个符合条件的数列
满足条件

，且

反之符合上述条件的7项数列
，可唯一确定一个符合条件的8项数列

记符合条件的数列
的个数为

显然
中有
个2，
个
，
个1

当
给定时，
的取法有
种，易得
的可能值为0,1,2,3

故
,

所以满足条件的所有数列
的个数为393个

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 【解析】：

（1）

----2分

＝
---------------4分

∴
周期，值域为
；-------------------6分

（2）由
得
，

又由
得
---------------------8分

∴
故
， -------------10分

此时，

．--------------12分

18. 【解析】：

(１) 函数
过
点，在区间
上有且只有一个零点，

则必有
即：
，解得：

所以，
　　　　　　　　　　　　　　　　　 --------------3分

当
时，
，　　　　　　　　 　　------------6分

(２) 从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之差的绝对值，

则
的可能取值分别是
，　　　　　　　 　 ----------7分

于是
，

，
----------10分　 　

从而
的分布列：

0

1

2

3
















的数学期望：
． …………12分

19【解析】：(1) 证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，

∴
，
，

∴
，∴
，

又平面
⊥平面
，
是交线，
平面
，

∴
⊥平面
． …………5分

（2）由(1)知，
、
、
两两垂直，以
为原点，
、
、
所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系（如图），

则
，
，设
，

则
，
，

设
是平面
的法向量，则

取
，得
，

显然
是平面
的一个法向量，

于是
，化简得
，此方程无实数解，

∴ 线段
上不存在点
使得平面
与平面
所成的二面角为
…………12分

20．【解析】：（1）当
时，

因
时，
，故
，

从而当
，即当
时，有最小值5，

所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是
；……6分

（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：
，（
）

问题转化为在
，
的条件下，求
的最大值。…………9分

法一：
，由
和
及
得：

………………13分

法二：∵
，
，

=

∴当
，即
，
，由
可解得：
。 ………………13分

答：花坛的长为
，宽为
，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。

21【解析】： (1)易得
，
，
，设
则

直线PA与BE交于C，

故
，
①

且
，② ………………2分

①②相乘得
又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故

即
， 要使
为定值，则
解得
此时

即
时，点C的轨迹曲线E的方程为
………………5分

（2）.设
又因为点P(异于A，B) 是圆O上的动点，故直线QR斜率存在，设直线QR的方程为
则PQ、PR的方程分别为
所以
故直线QR的方程为
比较系数，得

即

③ ………7分

另一方面，由
与椭圆
联立，得
，于是得
④

⑤………9分

所以
又因为O到QR的距离为
所以△
的面积

将③④⑤代入消去k，得
其中
。……11分

易知
在
是减函数，于是当
时，

。 ………13分

22. 【解析】（1）
．

若
，则
，则函数
是单调增函数，这与题设矛盾．

所以
，令
，则
．

当
时，
，
是单调减函数；

时，
，
是单调增函数；

于是当
时，
取得极小值．

因为函数
的图象与轴交于两点
，
(x1＜x2)，

所以
，即
．.

此时，存在
；

存在

，

又由
在
及
上的单调性及曲线在R上不间断，可知
为所求取值范围. ………………5分

（2）因为
两式相减得
．

记
，则


，

设
，则
，所以
是单调减函数，

则有
，而
，所以
．………………9分

（3）依题意有
，则


．

于是
，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，记C点坐标为

所以
，即
，

由直角三角形斜边的中线性质，可知
，

所以
，即
，

所以
，

即
．

因为
，则
，

又
，所以
，

即
，所以