1．函数
的定义域是：（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（i是虚数单位）在复平面内对应的点为：（ ）

A．
B．
C．
D．

3．三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，

其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知集合
，
，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

7. 若向量
，且
，则
（
）的最小值是：（ ）

A． B．
C． D．

8．设实数
满足约束条件
，则
的取值范围是：（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与

双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为：（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义在R上的奇函数
，当≥0时，
，则关于的函数
（0＜＜1）的所有零点之和为：（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11．
.

12．数列
的前n项和为
，则
.

13．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则圆
上的点到曲线
的最短距离是 .

14．命题“
，使
”是真命题，则实数的取值范围为 。

15．已知二次函数
同时满足：

①不等式
的解集有且只有一个元素；

②在定义域内存在
，使得不等式
成立．

设数列
的前项和为
，且
．规定：在各项均不为零的数列
中，所有

满足
的正整数的个数称为这个数列
的变号数。若令
（
）

则：(ⅰ)
； (ⅱ)数列
的变号数为： ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）一汽车厂生产
三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,该厂某月的产量如下表(单位:辆):

轿车

轿车

轿车



舒适型

100

150

z



标准型

300

450

600



按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取
辆,其中有类轿车
辆.

（I）求的值.

（II）用分层抽样的方法在
类轿车中抽取一个容量为
的样本.将该样本看成一个总体，

从总体中任取辆,求至少有辆是舒适型轿车的概率；

17．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且
.将角的始边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点B，记
.

（I）若
，求
；

（II）分别过
作x轴的垂线，垂足依次为
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求角的值。

18．(本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，
，

平面
平面
，
，E，F分别为AD，PC的中点.

（I）求证：
平面

(Ⅱ) 求证：

（Ⅲ）若AB=2，求直线
与平面
所成的角的正弦值。

19．（本题满分13分）已知等比数列
递增数列，若
，且
是
和
的等差中项.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
，
，求使
成立的正整数的最小值.

20.(本小题满分13分)设双曲线
：
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线
上，且
，已知双曲线
的离心率为
。

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）过双曲线
上一动点向圆：
作两条切线，切点分别为
，

求
的最小值.

21.(本小题满分13分)函数
有两个不同的极值点
，其中为实常数.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设命题：
，
，试判断命题的真假，

并说明你的理由.

参考答案

一、选择题：DACBB CBCDA

1.解：由
，得
，故选D

2.解：
，故选A

3.解：左视图是矩形，长（高）为4，宽为
，面积为
，选C

4.解：化简集合
，
，故选B

5.解：
。故选B

6.解：由
得：
，故
，

又由
得：
，故
，
，选C

7.解：设
，由
得：

则

故

令
，则

所以，

当且仅当
时，等号成立。故选B

8.解：如图，可行域为
，其中：
，
，

，
，故
，

所以
，故选C˙

9.解：易知：
，点（4,3）在渐近线
上，所以

又由
得：
，故选D

10.解：如图，易知：

，故

时，

由
得：
，故选A

二、填空题：11.
； 12.
；13.
；14.
；15.（ⅰ）5，（ⅱ）3

11.

12.
，又
，即
，

故
，
时也成立，故

13.圆
的圆心
到直线
的距离为
，

故圆上的点到直线
的距离的最小值为

三、解答题：

16. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,

由题意得：
，所以n=2000. ………2分

故
………4分

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,

因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,

所以
,解得m=2 ………6分

即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车；分别记作
。

则从中任取2辆的所有基本事件为：(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2),

(S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)，共10个； ………8分

其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个：

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2)， ………10分

所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
。 ………12分

17.解：（I）易知：
， ………2分

而
，故
………4分

故

………6分

（II）
，

………8分

，可求得：
，

而
，所以，
………12分

18. 解：（I）设

，

故
，

而平面
平面
，平面
平面

平面
………4分

（II）设点
是
的中点，连结

则
∥
∥
，

所以，四边形
是平行四边形

故
∥
………6分

因为
平面
，平面
平面

在正三角形
中，
，故
平面
，………7分

而
∥
，所以
………8分

(Ⅲ) 连结
， 由（II）知：
平面
，

故
就是直线
与平面
所成的角 ……10分

，在正三角形
中，

所以
，故所求角的正弦值为
……12分

19. 解：（Ⅰ）依题意：
，代入：

可得
，
， ………2分

(Ⅱ)
，

； ①

②

②—①：
………9分

由
得：

易知：当
时，
，

当
时，

使
成立的正整数的最小值为5. ………13分

20. 解：（Ⅰ）由定义知：
，而
，

故
，所以

故双曲线C的方程是
. ………4分

（Ⅱ）连AE，则AE⊥AP，且|AE|＝1.

设|PE|＝t，∠APB＝2θ，

则