注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

5. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集为R，
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若直线
与直线
互相垂直，则
展开式中的系数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为 （ ）

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

②在线性回归分析中，相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；

③已知随机变量
服从正态分布
，且
则

④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.

A．1 B．2 C．3 D．4

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，

则几何体的外接球的表面积为

A．
B．
C．
D．

5.若函数
对任意实数都有
，则
的值等于 （ ）

A．
B．1 C．
D．

6．已知长方形ABCD，抛物线
以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线
与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是 （ ）

A．不论边长
如何变化，P为定值 B．若
的值越大，P越大

C．当且仅当
时，P最大 D．当且仅当
时，P最小

7. 函数f（x）=
sin2x在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知
，
分别为双曲线

，
的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点
到直线
的距离为
，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 设函数
若a>b>1,且f (a)=f (b) ,则
的取值范围为 （ ）

A.(-2,3) B.(-2,2) C.( 1,2 ) D.

10.已知直线
和
，对于任意一条直线
进行变换，记该变换为，得另一条直线
.变换为：先经
反射，所得直线（即以
为对称轴，
的轴对称图形）再经
反射，得到
.令
，对于
定义
，则使得
恒成立的最小正整数为 （ ）

A. B.
C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必做题（11~14题）

11．定义一种运算
，在框图所表达的算法中揭示了这种运算 “
”的含义。那么，按照运算“
”的含义，计算
．

12．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－12，

则·＝　　　　．

13．定义在上的函数
，对任意不等的实数
，
都有
成立，又函数
的图象关于点
对称，若不等式
成立，则当
时，
的取值范围是 。

14．以
间的整数
为分子，以为分母组成分数集合
，其所有元素和为
；以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于集合
的分数集合
，其所有元素和为
；……，依次类推以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于
的分数集合
，其所有元素和为
；则

（1）
= ；

（2）
=________.

（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．(选修4-1：几何证明选讲选做题)

如图，⊙O的直径
=6cm，是
延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为
，连接
， 若
30°，PC = 。

16．(选修4-4：坐标系与参数方程)

直线
被圆
所截得的弦长为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知
，
，且
．

（1）将表示为的函数
，并求
的单调增区间；

（2）已知
分别为
的三个内角
对应的边长，若
，且
，
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：①对任意
，
恒成立；②对任意
，存在与n无关的常数M，使
恒成立．

（1）若 是等差数列，
是其前n项和，且 试探究数列
与集合W之间的关系；

（2）设数列
的通项公式为
，且
，求M的取值范围．

19．(本小题满分12分)

如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.

（I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；

（II）若三棱柱ABC —A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段
上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为
，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由.

20．(本小题满分12分)

宜昌市教育主管部门到夷陵中学调查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：

成绩



5

2













6

5













7

2

8











8

6

6

6

7

7

8



9

0

8











根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．

（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的学生人数，求
的分布列及期望．

21.(本小题满分13分)

已知定点
(p为常数，p>O)，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得
，且线段BM的中点在y轴上.

(I)求动点
的轨迹C的方程；

(Ⅱ)设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T(4，0)，当p=2时，求
的最大值

22．（本小题满分14分）

已知函数
，其中m，a均为实数．

（1）求
的极值；

（2）设
，若对任意的

，
恒成立，求的最小值；

（3）设
，若对任意给定的
，在区间
上总存在
，使得
成立，求的取值范围．

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北模拟A卷)

数学（理工农医类）参考答案

一.选择题：

5.D.

6.A. 解析：以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a，宽为b，则
，设抛物线方程为
，代入点B，得
，所以
.阴影面积
，矩形ABCD的面积
,故由几何概型得，所求事件的概率为
为常数.故选A.

8. C

12. 0．

【提示】以，为基底，则＝＋，＝－，

则·＝2－·－2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，

所以cos∠BAD＝，则∠BAD＝60o，则·＝·(－)＝·(－)＝2－·＝4－4＝0．

14. 解：由题意
＝++…+

＝++…+++…+++…+=++…+ -(++…+)＝++…+ -a1

a3＝++…+ -a1-a2

an＝++…+ -an-1…-a1-a2

所以
=++…+=+[1+2+…+mn-1]＝

15.

解：连接
，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．

∵
30°，OC=
=3， ∴
，即PC=
．

16.

解：把直线
代入
得

，弦长为

18.解：(1)设等差数列
的公差是
，则

解得
………1分

∴
(3分)

∴

∴
，适合条件①

又
，

∴当
或
时，
取得最大值20，即
，适合条件②．

综上，
………（6分）

（2）∵
，

∴当
时，
，此时，数列
单调递减；………9分

当
时，
，即
，………10分

因此，数列
中的最大项是
，………11分

∴
，即M的取值范围是
．………12分

19.解：（I）思路点拨1：连接
,证明：
;------------------4分

思路点拨2：取BC中点
,取
中点
,证明：
是平行四边形

思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1

（II）过
作BC的垂线,垂足为O，侧面BCC1B1底面ABC

所以
平面ABC，------------------------------------6分

所以
就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即
=60°--7分

又AB=AC，所以
,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系

则

-------------8分

解1：
，设平面
的法向量为

则
，令
，则y=-1,x=-3,所以
---10分

又平面ABC的法向量为（0,0,1）， 设平面使得平面
与底面ABC的所成角为

所以
，又
在
上单调递减，

所以在
上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为
-------12分

解2：设P在
上，所以
…

20.解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；…………………2分

（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为
，

故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为
，……………4分

设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，

则
；…………………6分

21.

22.解：（1）
，令
，得x = 1． ……………… 1分

当
时，
，由题意知
在
不单调，

设