绍兴一中 高考模拟卷

数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式

P（A+B）=P（A）+ P（B） V=Sh

如果事件A, B相互独立,那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

P（A·B）=P（A）· P（B） 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=
Sh

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

Pn（k）=C
pk （1－p）n-k （k = 0,1,2,…, n） 球的表面积公式

棱台的体积公式 S = 4πR2

球的体积公式

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=
πR3

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
等于

A．
　B．
C．
D．

2．设函数
，则
的值是

A ．
B．
C． 2 D．

3．已知
且
，则“
”是 “
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．执行如右图所示的程序框图，则输出
的值是

A．10 B．17 C．26 D．28

5．已知函数
,则下列说法错误的是

A． 函数f(x)的周期为
B． 函数f(x)的值域为R

C．点（
，0）是f(x)的图象一个对称中心 D．

6．设
是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是

A．
B．
，则

C．
，则
D．
，则

7.在
中，内角A、B、C的对边长分别为、
、，已知
，且
，则b=

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知
分别为双曲线
的左右焦点，P为右支上一点，满足

,
与双曲线渐近线平行，则双曲线的离心率为

A ．
B． 2 C．
D．

9．数列
的通项
，其前项和为
，则
为

A．
B．
C．
D．

10．如图，设为正四面体
表面的一点，由点P到四个顶点的距离所组成的集合记为M. 如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有

A．20个 B． 14个 C． 10个 D． 8个

非选择题部分 （共100分）

二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)

11．复数
（是虚数单位）的虚部是___▲___．

12．已知变量
满足约束条件
则
的最大值是__▲__．

13．若
，则
的值为

_ ▲ _．

14．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

▲ .

15．在△
中，已知
=4，
，则
___▲___．

16．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.若甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有____▲____种．

17．已知函数

.那么对于任意的
，函数的最大值为 ▲ ．

三、解答题 (本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

18．（本小题满分14分）

已知数列
,
,当
时，
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)令
，设
为数列
的前n项和，求

19. (本小题满分14分)

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得
分.

(Ⅰ)求拿4次至少得2分的概率；

(Ⅱ)求拿4次所得分数
的分布列和数学期望.

20． (本小题满分14分)

如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角N—AM—E的正切值．

21．(本小题满分15分)

已知椭圆
的方程为
，如图，
的三个顶点的坐标分别为
．

(Ⅰ) 求椭圆
的离心率；

(Ⅱ) 若椭圆
与
无公共点，求的取值范围；

(Ⅲ) 若椭圆
与
相交于不同的两个点分别为
．若
的面积为
(
为坐标原点)，求椭圆
的方程．

22．(本小题满分15分)

已知函数
.

(Ⅰ)若
，函数
在其定义域内是增函数，求
的最大值；

(Ⅱ)若
，关于的方程
有唯一解，求实数a的取值范围．

绍兴一中 高考模拟卷

数学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
等于（C）

A．
　 B．
C．
D．

2．设函数
，则
的值是（B ）

A ．
B．
C． 2 D．

3．已知
且
，则“
”是 “
”的（ B ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．执行如右图所示的程序框图，则输出
的值是 （ B ）

A．10 B．17 C．26 D．28

5．已知函数
,则下列说法错误的是 （ D ）

A． 函数f(x)的周期为
B． 函数f(x)的值域为R

C． 点（
，0）是函数f(x)的图象一个对称中心

D．

6．设
是两条不同直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是（ B ）

A．
B．
，则

C．
，则
D．
，则

7.在
中，内角A、B、C的对边长分别为、
、，已知
，且
，则b=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解法一：在
中，由
得：
，则由余弦定理有:
化简并整理得：
.又由已知

.解得
.

解法二:由余弦定理得:
.又
,
.

所以
①

又由
根据正弦定理可得
，

，即

由正弦定理得
，故
②

由①，②解得
.

8．已知
分别为双曲线
的左右焦点，P为右支上一点，满足
,
与双曲线渐近线平行，则双曲线的离心率为 （ C ）

A ．
B． 2 C．
D．

9．数列
的通项
，其前项和为
，则
为

A．
B．

C．
D．

【答案】 A

10．如图，设为正四面体
表面的一点，由点P到四个顶点的距离所组成的集合记为M. 如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ B ）

A ．16个 B． 14个 C． 12个 D． 10个

二、填空题 (本大题共7小题，每小题4分，共28分)

11．复数
（是虚数单位）的虚部是___▲___．

12．已知变量
满足约束条件
则
的最大值是__▲__．13

13．若
，则
的值为___▲__．-1

14．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为▲
；

15．在△
中，已知
=4，
，则
___▲___．4

【解析】由
=4得
，

又由
，得
．故

16．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有

一名志愿者.若甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有____▲____种．114

17．已知函数

.那么对于任意的
，函数y的最大值为 ▲ ．

【答案】
．

【解析】函数
可化为：

设
，则
所以直线

与圆
有公共点，从而有
得
于是
，得
得

三、解答题 (本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

18．（本小题满分14分）已知数列
,
,当
时，

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)令
，设
为数列
的前n项和，求

[解析] (Ⅰ) ∵ 当
时，
；

令
，则数列
是首项
、公差为
的等差数列，
；

∴
．

(Ⅱ) ∵
，

∴
，

记
①，则
②，

①-②有
，

∴
．

故

19.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得
分。

（1）求拿4次至少得2分的概率；

（2）求拿4次所得分数
的分布列和数学期望。

19.解（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则
，
，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。

，
，

（2）
的可能取值为
，则

；
；

；
；
；

分布列为



-4



-2



0



2



4



P















20． (本小题满分14分)

如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．

　（Ⅰ）证明：MN∥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角N—AM—E的正切值．

解：(Ⅰ) 略 (Ⅱ)

21．(本小题满分15分)

已知椭圆
的方程为
，如图，
的三个顶点的坐标分别为
．

(Ⅰ) 求椭圆
的离心率；

(Ⅱ) 若椭圆
与
无公共点，求的取值范围；

(Ⅲ) 若椭圆
与
相交于不同的两个点分别为
．若
的面积为
，求椭圆
的方程．

解 (Ⅰ) 由已知可得,
,

,即椭圆
的离心率为

(Ⅱ) 由图可知当椭圆
在直线
的左下方或
在椭圆内时,两者便无公共点(5分)

① 当椭圆
在直线
的左下方时

将
:
即
代入方程

整理得
,

由
即
<0解得

∴由椭圆的几何性质可知当
时, 椭圆
在直线
的左下方

② 当
在椭圆内时,当且仅当点
在椭圆内

∴可得
,又因为
, ∴

综上所述,当
或
时,椭圆
与
无公共点

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知当
时, 椭圆
与
相交于不同的两个点
﹑

∴① 当
时,
﹑
在线段
上,设

的面积