一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1.已知集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.若复数
为纯虚数
，则复数
位于 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.以下说法正确的是 （ ）

A.命题“
都是有理数”的否定是“
都不是有理数”；

B.设
是等比数列，则“
”是“数列
是递增数列”的充要条件；

C.用相关系数来判断两个变量的相关性时，越小，说明两个变量的相关性越弱；

D.将一组数据中的每个数据加上或减去同一个数后，方差恒不变.

4.当
时，则下列大小关系正确的是 （ ）

A.
B.

C.
D.

5.如图正方体
的棱长为，以下结论不正确的是 （ ）

A．异面直线
与
所成的角为

B．直线
与
垂直

C．直线
与
平行

D．三棱锥
的体积为

6.若为不等式组
表示的平面区域，则当从
连续变化到时，动直线

扫过区域中部分的面积为 （ ）

A. B.
C.
D.

7.函数
的图像是 ( )

8.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是

分贝
,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：

(其中
是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则
的声音强度
是

的声音强度
的 ( )

A．
倍 B．
倍 C．
倍 D．
倍

9.已知函数

，则下列结论正确的是 ( )

A．
有最大值 B.
有最小值

C.
有唯一零点 D.
有极大值和极小值

若满足条件
，
,
的
有两个，那么的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案

填在答题卡相应题号后的横线上.

某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的的值是 .

12.某程序框图如图2所示，现将输出
值依次记为：

若程序运行中输出的一个数组是

，则数组中的
.

13.已知等差数列
若
则
____________.

14.在区间
上任取一个数，则圆
与圆

有公共点的概率为 .

15.关于平面向量
，有下列三个命题：

①若
，则
.

②若
，
，
，则k＝－3.

③非零向量
和
满足
，则
与
的夹角为60°.

其中真命题的序号为 ．(写出所有真命题的序号)

16.已知
，
分别为双曲线

，
的左、右焦点，若在右支上存在

点，使得点
到直线
的距离为
，则该双曲线的离心率的取值范围是 .

17.给定集合
，定义
中

所有不同值的个数为集合元素和的容量，用
表示.若
，则

；若数列
是等差数列， 公差不为
，设集合

（其中
，为常数），则
关于的表达式
.

解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本小题满分12分）

某工厂生产的产品的直径均位于区间
内(单位:
).若生产一件产品

的直径位于区间

内该厂可获利分别为
(单位:元)，现从该厂生产的产品中随机抽取100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求的值，并估计该厂生产一件产品的平均利润；

(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间
内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间
内的概率.

19.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为.

（1）讨论
在区间
上的单调性；

（2）若在
满足
，面积
,边长
,求

的值.

20.（本小题满分13分）

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF；

（3）若
，
中

点为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

21.（本小题满分14分）

已知函数
．

(1)若曲线
过点
，求曲线
在点处的切线方程；

(2)求函数
在区间
上的最大值；

(3)若函数
有两个不同的零点
，求证：
．

22.（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的右顶点为
，过
的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆
的方程；

（II）设抛物线
：
的焦点为，过点的

直线
交抛物线与
两点，过
两点分别作抛物线
的切

线交于
点，且
点在椭圆
上，求
面积的最值，并求出

取得最值时的抛物线
的方程

夷陵中学2014届高三数学（文）模拟考试答案

选择题：

填空题：

解答题：

18.解:(1) 由频率分布直方图可知
所以
…3分

直径位于区间
的频数为
,位于区间
的频数为
,位于区间
的频数为
,位于区间
的频数为
,因此生产一件产品的平均利润为
(元) ………………………………6分

(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间
和
的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间
的产品中抽取2件产品,记为、，从直径位于区间
的产品中抽取3件产品，记为、
、,从中随机抽取两件,所有可能的取法有,
,
,
,
,
,
,

,
,
,
,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间
内的取法有
,

,
,
,
,
,
,
,共9种.

所以所求概率为
……………12分

由条件得A=
，由面积得bc=20,又b=5知c=4

由余弦定理得
,由正弦定理得
=

20.【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，

因为
平面CDEF，
平面CDEF，

所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分

因为
平面ABFE，平面
平面
，

所以AB∥EF．

（2）因为DE⊥平面ABCD，
平面ABCD，

所以DE⊥BC．

因为BC⊥CD，
，
平面CDEF，

所以BC⊥平面CDEF．

因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．

（3）方法一：点E到平面MBD的距离转化为点B到平面MED的距离=

方法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建系计算得距离=

21．

（3）不妨设
．因为
，所以
，

22.解析：（I）由题意得
所求的椭圆方程为
…….6分

（II）令
则抛物线
在点A处的切线斜率为

所以切线AQ方程为:

同理可得BQ方程为:

联立

解得Q点为
…………………8分

焦点F坐标为(0,
), 令l方程为:
代入
：

得:
由韦达定理有：

所以Q点为
…..10分

过Q做y轴平行线交AB于M点， 则

M点为
,
,

……..12分

而Q点在椭圆上,

…..15分