2014江苏省高考压轴卷

数 学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．设全集U=R，A=
，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 ▲ .

2. 若
则
▲ .

3. 设函数
，若曲线
在点
处的切
线方程为
，则

▲ .

4．已知a=log0.55，b=log0.53，c=log32，d=20.3，则a,b,c,d依小到大排列为 ▲ .

5．已知函数

，则
▲ .

6．函数f(x)＝
的定义域为 ▲ .

7．设定义在
上的函数
，满足
，若
时

，则

▲ .

8．函数
在区间
上存在极值点，则实数
的取值范围为 ▲ .

9．已知命题p：
，
命题q:
,若
是
的充分条件，则
的取值范围为 ▲ .

10．已知函数
,若
，则实数
的取值范围是 ▲ .

11．若函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围是
▲ .

12．对于R上可导的非常数函数
，若满足
，则
的大小关系为 ▲ .

13．下列四个命题中，所有真命题的序号是 ▲ .

①
是幂函数；②若函数
满足
，则函数
周期为2；

③如果
，那么
的充要条件是
；④命题“
”的否定是“
”.[来源:学。科。网]

14．已知函数
当

，
，若在区间
内，函数
有三个不同零点，则实数a的取值范围是 ▲ .

二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设集合
，

集合
．

（1）求集合
；

（2）若
,求实数
的取值范围

16．（本小题满分14分）

设命题
：存在
，使关于x的不等式
成立；命题
：关于x的方程
有解；若命题
与
有且只有一个为真命题，求实数
的取值范围．

17．（本小题满分14分）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

设
为奇函数，
为常数．

（1）求
的值；

（2）判断并证明函数
在
时的单调性；

（3）若对于区间
上的每一个
值，不等式
恒成立，求实数
取值范围．

18. （本小题满分16分）

某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a元（a为常数，4≤a≤6)的税收.设每件产品的售价为x元，根据
市场调查，当35≤x≤40时日销售量与
（e为自然对数的底数）成正比.当40≤x≤50时日销售量与
成反比，已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件.记该商品的日利润为L(x)元.

（1）求L（x)关于x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价x为多少元时，才
能使L（x)最大，并求出L（x)的最大值.

19. （本小题满分16分）

已知命
题
:“函数
的图像关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”.

（1）试判断命题
的真假？并说明理由；

（2）设函数
，求函数
图像对称中心的坐标;

（3）试判断“存在实数a和b,使得函数
是偶函数”是“函数
的图像关
于某直线成轴对称图像”
成立的什么条件？请说明理由．

20．（本小题满分16分）

设函数
，
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，若对任意
，不等式
成立，求
的取值范围；

（3）当
时，设
，
，试比较
与
的大小并说明理由．

数学加试试卷

解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 求下列函数
的导数.

22. 将水注入锥形容器中，其速度为
，设锥形容器的高为
，顶口直径为
，求当水深为
时，水面上升的速度.

23. 证明下列命题:

（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f'（x）也为周期函数；

（2）可导的奇函数的导函数是偶函数.

24. 已知
，直线
与函数
的图象都相切于点

（1）求直线
的方程及
的解析式；

（2）若
（其中
是
的导函数），求函数
的值域.

参考答案

一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1．
2．18 3．1 4. a

9.
10.
11.
12.
（
）13.① 14.

二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.解：（1）A＝
…………………………………………………………5分

B＝
…………………………………………………………8分

（2）由
得，
或
…………………………………………12分

即
或
,所以
………………………………14分

16.解：由命题
为真：
，得
………………………………4分

由
得

所以命题
为真时，
………………………………8分

若命题
为真，命题
为假，则
且
得

若命题
为假，命题
为真，则
且
得
………………………12分

所以实数
的取值范围为

………………………………………14分

17. 解：（1）由条件得：
，
，

化简得
，

因此
，但
不符合题意，因此
． ………………4分

（也可以直接根据函数定义域关于坐
标原点对称，得出结果，同样给分）

（2）判断函数
在
上为单调减函数；

证明如下：设

又

，
，又

，即

函数
在
上为单调减函数；

（也可以利用导数证明，对照给分） ………………………………………………9分

（3）不等式为
恒成立，

在

上单调递减，
在
上单调递增，

在

上单调递减，

当
时取得最小值为
，
。 ………………………………14分

18. 解：（1）当35≤x≤40时，由题意日销售量为

售价为40元时，日销售量为10件，故

=10，
=
………………3分

当40≤x≤50时，由题意日销售量为

售价为40元时，日销售量为10件，故
=10，
………………6分

所以该商品的日利润
………………8分

（2）当35≤x≤40时，

，4≤a≤6，
，

因为35≤x≤40，令
得

当
时

当
时

故

………………………………………………………11分

当
时，

显然
在
时

所以
在
时为增函数

故
时
……………………………………………………13分

又

故
……………………………………………………15分

于是每件产品的售价x为
时才能使L（x)最大， L（x)的最大值为
………16分

19. 解：

（1）命题
为真命题；

充分性：若
为奇函数，则

即

设
为
图像上任一点，则
关于
的对称点为

在
图像上，即
的图像上，即
的图像关于
对称

必要性：若
的图像关于

设
为
图像上任一点，则由上知：

令
取
，则

即

为奇函数

综上命题为真 …………………………………………5分

（2）设函数
为奇函数，

则

∵
为奇函数，则
，即

由命题
为真命题，则函数
的图像对称中心为
……………10分

（3）ⅰ.当
时“存在实数
和
，使得函数
是偶函数”是“函数
的图像关于直线
成轴对称图形”
的充要条件；（证明方法参考（1））

ⅱ. 当
不为
时“存在实数
和
，使得函数