2014广西高考压轴卷理科数学

一．选择题：（每小题5分，共60分）

1．若ix＋yi＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是　( )

A．2　　 　　B．3　　 　　C．4　　　　 D．52．若A={2，3，4}，B={x|x=mn，m．n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集有（　 ）个。

A．3

B．6

C．7

D．8



3．已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“
是a＞b”的充要条件，则（　 ）

A．p真q假

B．p且q真

C．p或q真

D．p或q假





4．函数y=2+
的反函数为（ ）

A．
B．

C．
D．

5．若直线
与直线
平行，
为非零向量，则必有（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知数列{
}为等差数列，且
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．现有16张不同的卡片，其中红色．黄色．蓝色．绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）

A．232 B．252 C．472 D．484

8．将抛物线
按
平移后所得的抛物线的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组
给出，若M（x,y）为D

上的动点，点A(2,-1)，则
的最小值为（ ）

A．
B ．
C．
D．

10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，
，E为AB的中点，将
与
分别沿ED，EC向上翻折，使A,B重合，则形成的三棱锥的外接球的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

11．设抛物线C的方程
,O为坐标原点，P为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M,N两点，若直线PM与ON相交于点Q，则
( )

A．
B．
C．
D．

12．已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意
满足
考察下列结论：①
②
为偶函数 ③数列
为等比数列 ④数列
（为等比数列,其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④

二．填空题：（每小题5分，共20分）

13．
的展开式中，
的系数为 。

14．若
,则
。

15．椭圆
的左焦点为F，直线
与椭圆相交于点A．B，当
的周长最大时，
的面积是 。

16．已知
是夹角为
的单位向量，关于实数x的方程
有解，则
的取值范围是 。

三．解答题：（共70分）

17. （本小题满分10分）

设
是锐角三角形，．
．分别是内角．．
所对边长，并且
.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若
的面积等于
，
，求
．（其中
）.

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面是正方形，
面
，且
,点
分别在
上，

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）

甲．乙两个围棋队各派出三名选手．．和．
．并按．．
和．
．的出场顺序进行擂台赛（擂台赛规则是：败者被打下擂台，胜者留在台上与对方下一位进行比赛，直到一方选手全部被打下擂台比赛结束），已知胜的概率为
，而．和．
．五名选手的实力相当，假设各盘比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求到比赛结束时共比赛三盘的概率；

（Ⅱ）用
表示到比赛结束时选手所胜的盘数，求
的分布列和数学期望
．

20．（20）（本小题满分12分））

已知数列
的前项和为
，且满足
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
若
为数列
的前项和，求
的值.

21．（本小题满分12分）

已知定点A（-3,0），M．N分别为x轴．y轴上的动点（M．N不重合），且
,点P在直线MN上，
.

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设点Q是曲线
上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T，使得点T到点Q的距离最小？若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数
　
.(Ⅰ) 讨论
的单调性；

(Ⅱ) 证明：
…

2014广西高考压轴卷理科数学参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

D

B

C

A

C

A

B

A

D

C



二．填空题．

13．120 14．
15．3 16．

三．解答题：

17．解：（Ⅰ）
，

，

即
，
.

又
是锐角三角形，
，从而
. …………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知，得
的面积
=
，
①.

由余弦定理知，
，将
及
代入，得
②

由①．②可得
.因此
是一元二次方程
的两个根，解此方程并由
知，

. …………………10分

18．解：（1）证法1：
面
，
.

面

面
,
.



1分

是
的中点，且
，
,
面
.

而
面
，
.
3分

点是
的三等分点.

4分

6分

又
且
,
面
.


7分

证法2：
，四棱锥
的底面是正方形，
面
，故可以建立如图所示的空间直角坐标系. 又
，
，
，

，
.

,
,
3分

设

求得
.
5分

,
.

又
且
,
面
.
7分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，

是平面
的法向量，

10分

12分二面角
的余弦值
.

19．解：（I）设到比赛结束时共比赛三盘为事件
，再设在这比赛过程中，胜出为事件，胜出为事件

则
， ………………5分

（II）由题意知
可能的取值为0，1，2，3，………………6分

则
，
，
，
，

∴
的分布列如下：























………………10分

的数学期望
．………………12分

21．解：（Ⅰ）设点M．N的坐标分别为
，（
）点P的坐标为
，

则
，
，

由
得
，------------------（※）............2分

由
得
∴
代入（※）得
...5分 ∵
∴

∴动点P的轨迹C的方程为
（
）...7分

（Ⅱ）曲线
即
，是以B（4,0）

为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB,

则


∴当
最小时，
最小..9分

∵点T在轨迹C上，设点
（
）

∴

......10分

当
，即
时，
有最小值，
，当
时，

∴在轨迹C上存在点T，其坐标为
，使得
最小，
.12分

22. 解：（Ⅰ）令
，

∵

①当
时，对任意
都有

是
上的增函数，

由于当
时，
是增函数，当
时，
是减函数，

由复合函数的单调性知，
在
单调递减，在
单调递增；………２分

②当
，对任意
都有

是
上的减函数，

从而
在
单调递增，在
单调递减；………………3分

③当
时，则
，

则
在
递增，在
递减

从而
在区间
和
单调递增，

在区间
和
单调递减； ………………5分

综上所述，①当
时，
在
单调递增，在
单调递减；

②当
时，从而
在区间
和
单调递增，

在区间
和
单调递减；

③当
时，
在
单调递减，在
单调递增；………………6分

(Ⅱ) 证明：①当
时，由(Ⅰ)知，
在
单调递减，

令
，有
，即

累加得
………………9分

②当
时，由(Ⅰ)知，
在
单调递增，

令
，有
，即

累加得
　………………11分

从而
对任意
都成立。