广东省深圳市2014届高三4月第二次调研考试

数学（理科）

选择题

1.函数
的定义域是

A.
B.
C.
D. R

2.方程
在复数范围内的根共有

A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是

A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两个点 D.一条直线和直线外一点

4.在下列直线中，与非零向量
垂直的直线是

A.
B.
C.
D.

5.已知函数
的图像与函数
的图像关于原点堆成，则

A.
B.
C.
D.

6.已知△ABC中，
，则

A.
B.
C.
D.

7.已知不等式
对任意实数
都成立，则常数的最小值为

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

8.如图1，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积

.所以，圆环的面积等于是以线段
为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长
为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：

若将平面区域
绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是

A.
B.

C.
D.

填空题

(一)必做题:

9.如图2，在独立性检验中，根据二维条形图回答，吸烟与患肺病 （填“有”或“没有”）.

10.在
的二项展开式中，含
项的系数是 .PB

11.以抛物线
的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .

12.设变量
满足
，则
的取值范围是 .

13.在程序中，
表示将计算机产生的[0,1]区间上的均匀随机数赋给变量.利用图3的程序框图进行随机模拟，我们发现：随着输入
值的增加,输出的
值稳定在某个常数上.这个常数是 .(要求给出具体数值) 注:框图中的“=”,即为“←”或为 “:=”.

(二)选做题:

14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,
分别是直线
和圆
上的动点,则
两点之间距离的最小值是 .

15.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且
,则腰长OA= .

解答题:

16.(本小题满分12分)

已知函数
,其中
,为正常数.

当
时,求
的值;

记
的最小正周期为,若
,求的最大值.

17.( 本小题满分12分)

某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下:

每人连续投掷5支飞镖,累积3支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以下两种情况下中止投掷:①累积3支飞镖掷中目标;②累积3支飞镖没有掷中目标.

已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数
,且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为
.

求的值；

记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为
，求
的分布列和数学期望.

18.( 本小题满分14分)

如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.

证明:AP⊥平面PBC

若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.

19.( 本小题满分14分)

设等差数列
的公差为
,
是
中从第
项开始的连续
项的和,即

若
,
,
成等比数列,问:数列
是否成等比数列?请说明你的理由;

若
,证明:
.

20.( 本小题满分14分)

已知为正常数,点A,B的坐标分别是
,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是
.

求懂点M的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;

当
时,过点
作直线
,记
与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM与y轴交与点N,证明
为定值.

21.( 本小题满分14分)

设f（x）是定义在［a，b］上的函数，若存在c
，使得f（x）在［a，c］上单调递增，在［c，b］上单调递减，则称f（x）为［a，b］上单峰函数，c为峰点。

（1）已知
为[a，b]上的单峰函数，求t的取值范围及b-a的最大值：

（2）设
其中

①证明：对任意
上的单峰函数：

②记函数
上的峰点为
证明：