2014届高三第三次教学质量检测数学（理）答案

一．选择题

1----5 ADAAB, 6----10 CDBBC

二．填空题

11.
12. 10 13. （2,5） 14. 4 15.③⑤

三．解答题

16. 解析：(Ⅰ)
∴
∴
………6分

（Ⅱ）
解得

∴
………12分

17．解析：连AC、BD交于O点，连OG，∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC的中点

又G为EC的中点，∴GO∥AE，GO=2，∴GO∥FD，∴G、O、D、F共面，且面GODF∩面ABCD=OD

由GF∥面ABCD得GF∥OD，∴四边形GODF为平行四边形，∴DF=GO=2，以A为原点，AB、AD、AE所在直线分别为、
、轴建立空间直角坐标系，则B（2,0,0），C（2,2,0），E（0,0,4），F（0,2,2）

（1）
=(－2,0,2)，
=(0,2, －2)， 设面EFC的一个法向量为
=（1，
1， 1），则

， 取
=（1，1，1）

方向上的单位向量是
=（
，
，
），
=(0,2,0)

∴点B到面EFC之距为
=
=
………6分

（2）
=(－2, 0 ，4)
=(0,2,0)

设面BEC的一个法向量为
=（2，
2， 2），

则
取
=（－2，0，－1）

设二面角B-EC-F的大小为

则
=
=
………12分

18．解析：（1）当
时，即表明名学生中恰有两名学生未对号入座，有
种坐法， 于是
，即
，

解得
………3分

（2）记 “号学生未坐号座位且号学生对号入座”为事件．

4名学生随机入座4个座位共有
种等可能性结果，而事件包含其中
种结果， 故
………7分

（3）
的所有可能取值为：

且
，
，

，

故
． ………12分

19.解析：（1）不妨设过左焦点
且垂直于轴的直线交椭圆于
、，则
，所以
，又

，则
，在
中，由勾股定理得：
，而
，联立解得：
，
，故椭圆的方程为
． ………5分

（2）设
，则
，又
，
， 所以

所以


，将
代入得

由
得
且
， 故的取值范围是
． ………12分

20. 解析：(1)由
，可得
.

由
，可得
. ……………2分

（2）因为
成等差数列，所以
…①.

因为
成等比数列，所以
，

因为数列
的每一项都是正数，所以
…②.

于是当
时，
…③.

将②、③代入①式，可得
，因此数列
是首项为
，公差为
的等差数列，所以
，于是

由③式，可得当
时，
.

当
时，
，满足该式子，所以对一切正整数，都有
. …………………………7分

（3）由（2）可知，所证明的不等式为

方法一:

首先证明

因为

所以当
时，

.

当
时，
.

综上所述，对一切正整数，有
…………………13分

方法二:

.

对一切正整数，有
……………………13分

方法三:

当
时，

.

当
时，
.

综上所述，对一切正整数，有
………………13分

21．解析：（1）由
，得
，

令
，得
或
．

当变化时，
及
的变化如下表：















-



+



-





↘

极小值

↗

极大值

↘



所以
的极大值为
=
，

．…………………………………………………………………………………4分

（2）由
，得
．

，且等号不能同时取，

，即

恒成立，即

令
，求导得，
，

当
时，
，从而
，

在
上为增函数，

，

．………………………………………………………………………………8分

（3）由条件，

，

假设曲线
上存在两点，
满足题意，则，
只能在轴两侧，

不妨设
，则
，且
．

是以为直角顶点的直角三角形，
，

（*），

是否存在，
等价于方程
在
且
时是否有解．

①若
时，方程
为
，化简得
，此方程无解；

②若
时，方程
为
，即
，

设
，则
，

显然，当
时，
，

即
在
上为增函数，

的值域为
，即
，

当
时，方程（*）总有解．

对任意给定的正实数，曲线
上总存在两点，
，使得
是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．……………13分