本试卷共150分。考试用时150分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.

3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数z满足
，则z =（ ）

A．
B．
C．
D．

2．抛物线
的焦点坐标是

A．
B．
C．（0，1） D．（1，0）

3．已知定义在复数集
上的函数
满足
，则
等于

A．
B． 　　 C. D．

4．已知函数
，其导函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式为

A．

B．

C．

D．

5．下列命题中是假命题的是

A．
上递减

B．

C．

D．
都不是偶函数

6．已知
是两条不重合的直线，
是三个重合的平面，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．
是异面直线，

7．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为

A．
B．

C．
D．

8．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）

A．42 B．30 C．72 D．60

9．已知函数
的定义域为，当
时，
，且对任意的
，等式
成立，若数列
满足
，且

则
的值为

A．4016 B．4017 C．4018 D．4019

10．已知圆：
，过圆内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（ ）

A．21 B．
C．
D．42

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11．若
展开式的二项式系数之和为256，则=_________，其展开式的常数项等于__________。（用数字作答）

12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 　cm3．

13．已知
满足
且目标函数
的最大值为7，最小值为１，

则
-------

14．在
中，
，O为
的内心，且
则
= .

15．已知
内接于椭圆
，且
的重心G落在坐标原点O，则
的面积等于 .

16．函数
的值域为 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（本小题满分12分）

已知函数
，其定义域为
，最大值为6.

（1）求常数m的值；

（2）求函数
的单调递增区间.

18（本小题满分12分）

袋中装有若干个质地均匀大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍.每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.

（1）求摸球3次就停止的事件发生的概率；

（2）记摸到红球的次数为
，求随机变量
的分布列及其期望.

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面的菱形，
，点是
边的中点，
交于点
，

（1）求证：
；

（2）若
的大小；

（3）在（2）的条件下，求异面直线
与
所成角的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的两个焦点分别为
，且点
在椭圆C上，又
.

（1）求焦点F2的轨迹的方程；

（2）若直线
与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若方程
内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）

（2）如果函数
的图象与x轴交于两点
、
且
.求证：
（其中正常数
）.

22（本小题满分14分）

已知数列
满足：
其中
，数列
满足：

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在正数k，使得数列
的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.

理科数学试题参考答案

由
知：
，于是可知

得
.………………………………………………………（6分）

（2）由
及

而
在
上单调递增

可知满足：
时
单调递增

于是
在定义域
上的单调递增区间为
.………………（12分）

18．解：（1）摸球3次就停止，说明前三次分别都摸到了红球，

则
……………………………………………………………（5分）

（2）随机变量
的取值为0，1，2，3.

则
，

，

.

随机变量
的分布列是

0

1

2

3



P












的数学期望为：

.………………………（12分）

19．解：解答一：（1）在菱形
中，连接
则
是等边三角形。

（2）

解法二：（1）同解法一；

（2）过点
作
平行线交
于,以点
为坐标原点,建立如图的坐标系

二面角
的大小为

（3）由已知，可得点

即异面直线
所成角的余弦值为

故轨迹方程为
.…………………………………………（6分）

（2）由

方程
有两个正根
.

设
，由条件知
.

而

即

整理得
，即

由（1）知
，即
显然成立.

由（2）、（3）知

而
.

.

故
的取值范围为
……………………（12分）

21．解：（1）由
，

求导数得到：

，故
在
有唯一的极值点

，且知

故
上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为
.………………………………………（6分）

（2）
又
有两个实根

则

两式相减得到：

于是

，故

要证：
，只需证：

只需证：

令
，则

只需证明：
在
上恒成立.

又
则

于是由
可知
.故知

上为增函数，则

从而可知
，即（*）式成立，从而原不等式得证.……………

……………………………………………………………（14分）

22．解：（1）经过计算可知：

.

求得
.…………………………………………（4分）

（2）由条件可知：
.…………①

类似地有：
.…………②

①-②有：
.

即：
.

因此：

即：
故

所以：
.…………………………………………（8分）

（3）假设存在正数
，使得数列
的每一项均为整数.

则由（2）可知：
…………③

由
，及
可知
.

当
时，
为整数，利用
，结合③式，反复递推，可知
，
，
，
，…均为整数.

当
时，③变为
………④

我们用数学归纳法证明
为偶数，
为整数

时，结论显然成立，假设
时结论成立，这时
为偶数，
为整数，故
为偶数，
为整数，所以
时，命题成立.

故数列
是整数列.

综上所述，
的取值集合是
.………………………………………（14分