4. 解析：双曲线的半焦距
，由
知
，双曲线的两条准线之间的距离为
.选B.

5.解析：曲线
的普通方程为
，
点直角坐标为
，故最大距离为2.选B.

6. 解析：由
两边平方，得
.

若“
、
夹角为锐角”，则
，又由题设知
，故
；反之，若
，则
，但
、
夹角不一定为锐角.选B.

7.解析：显然的算术平方根为椭圆
的短半轴长，故
，
.选C.

8.解析:
，则
，由已知
故
.选B.

数学试题（理）参考答案（共7页）第1页

9.解析：点坐标代入得
，因点在函数
的单调递减区间上，

故
，

所以
，

得
又
，故
.选C.

10.解析：令
，则
为偶函数，且当
时，
，即函数
在区间
上为增函数，不等式
即为
，即有
，化为
，解得：
或
.选A.

14.解析：由已知，
，
， 故
，而
=1，所以
,
.

数学试题（理）参考答案（共7页）第2页

15. 解析：正确的有①、②、⑤

∵
∥
，
⊥
，
⊥
，∴①、②正确；∵ 异面直线
和
所成的角为
，∴过点与异面直线
和
所成的角均为
的直线有且只有3条. 故③错误.设
，可求得四面体
内切球半径为
，而正方体
内切球半径为
，故所求的比应为
.故④错误. 将正方体沿
、
、
、
、
展开到一个平面上，如图所示，

易知截面多边形
的周长为定值，等于

（为正方体的棱长），故⑤正确.

令
，
，则
,

∴
,

当
时，
有最大值
.

数学试题（理）参考答案（共7页）第3页

此时，
，有
，由于
，

所以
为所求. …………………12分

17．（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）每次从
个球中任取两个，有
种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有
种，

∴
.

…………………12分

数学试题（理）参考答案（共7页）第4页

18. （本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由
是⊙
的直径，
是⊙
上不同于、的一点，知
.

∵ 面
面
，∴
面
，∴
.

∵
，
是
的中点，∴
，∴
平面
.

………………… 6分

（Ⅱ）作
于
，连接
. 由（1）
平面
，根据三垂线定理得
，∴
就是二面角
的平面角.

∵
，
，
是
的中点，∴
，
，在
中，
.

∴ 在
中，
. …………………12分

19．（本题满分13分）

解析：（Ⅰ）由已知不等式
＞0对
恒成立，

∴
对
恒成立.

令
，
，则
.

∵
.

∴
在区间
上是减函数，

∴
，故
. …………………7分

（Ⅱ）依题意
.

数学试题（理）参考答案（共7页）第5页

∵
，∴
在
单调递增.

又
在
单调递减，故
，解得
.

…………………13分

20．（本题满分13分）

解析：（Ⅰ）如图所示，设四边形
的内切圆与边
的切点为
，连接
，则
.由
，
，
，
，得
，又
，
，解得
，
，故椭圆
的方程为
. ………………5分

（Ⅱ）根据已知条件可设直线
的方程为
，代入椭圆方程，整理得
.

设
，
，则
.

又
，由
，
，得
，
.

…………………9分

∴
，

数学试题（理）参考答案（共7页）第6页

∵

，

∴
为定值. …………………13分

21.（本题满分13分）

解析：（Ⅰ）
由
得：

所以

、

是上方程的两根，由韦达定理：
，

由已知
，
，

所以
，即
，
…………………3分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：
，
，所以

. ………………7分

（Ⅲ）因
，所以

当
时，

综上，对一切
，均有
成立. …………………13分

数学试题（理）参考答案（共7页）第7页