高三数学（理）答案（2014、04）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

D

C

D

B

C



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．
10．4 11．-192 12．
13．
14．13

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）因为sinC=2sinA
………………………………………2

………………………………….4

（Ⅱ）
=
……………………………7

……8

所以

…10

sin
=

…………13

16．（本小题满分13分）

设“A级第一次考试合格”为事件
，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件
，“B级补考合格”为事件
．

（Ⅰ）不需要补考就获得合格证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，

则

答：该考生不需要补考就获得合格证书的概率为
………………………4

（Ⅱ）由已知得，
＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

….6

………….8

………………….10

故

答：该考生参加考试次数的期望为
….13

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）作
，垂足为
，连结
，

由侧面
底面
，

得
平面
………..2

因为
，所以
………3

又
，
为等腰直角三角形，
……………4

如图，以
为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
.

，
，
，
，
………6

，
，
，所以
…………8

（Ⅱ）设
为平面SAB的法向量

则
得
所以

令x=1
……………………………………………10

………………………………12

与平面
所成的角与
与
所成的角互余．

所以，直线
与平面
所成的角正弦值为
……………………………13

18．（本小题满分13分）

函数
的定义域为
……………………………2

……………………………………………4

令
，则
在
上递增，在
上递减，

．当
时，
，

在
上恒成立．

即当
时,函数
在定义域
上单调递增……………………………6

（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当
时函数
无极值点．

（2）当
时，
，
时，

时，

时，函数
在
上无极值点………8

（3）当
时，解
得两个不同解
，
．

当
时，
，
，

此时
在
上有唯一的极小值点
…………………………10

当
时，

在
都大于0 ，
在
上小于0 ，

此时
有一个极大值点
和一个极小值点

综上可知，
时，
在
上有唯一的极小值点
；

时，
有一个极大值点
和一个极小值点

时，函数
在
上无极值点．………………………………………13

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）由题意可知，b=1，

又因为
，且a2=b2+c2，解得a=2

所以椭圆的方程为
………………………………………………4

（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，所以直线AP的方程为
…………………………………6

令
，则
，即
……………………8

同理：直线BP的方程为
，令
，则
，即
………………………10

所以

=
……………………………………………………..12

而
，即4y02=4﹣x02，代入上式，所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|为定值1．…………………………………………14

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）在
中，令n=1，可得
，即
..............1

当
时，
，..................2

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列................................................4

于是
.........................................................................6

(II)由（I）得
，所以

由①-②得

………………………9

……………………………………11

于是确定
的大小关系等价于比较
的大小

．．．．．．

猜想：当
证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立．

（2）假设
时猜想成立．即

则
时，

所以当
时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切
的正整数，都有

证法2：当
时

综上所述，当

，当
时
………………………14