2014年数学二模答案（理科）

1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6. A 7.C 8.B 9.A 10. A 11.C 12.B

13.
14. -2 15.
16. ①②③

17.解：（Ⅰ）由题意
，

所以数列
为等差数列，
分

分

所以

解得

分

所以
，

分

（Ⅱ）由题意
，

分

令
，当且仅当
时取等
分

当
时，

当
时，

分

所以
或
时，数列
的最小项是
。
分

18.（1）设代表队共有人，则
，

则季军队的男运动员人数为
. …………2分

（2）
可以取的值为0，1，2 …………3分

，

. …………5分

所以
的分布列为



1

2













 …………6分

…………7分

（3）试验的全部结果所构成的区域为
，

面积为
， …………8分

事件A表示运动员获得奖品，所构成的区域为

， …………9分

阴影面积为
， …………11分

所以
. …………12分

19.（1）证明：

取
中点
，连接
、
，

……………1分

，

……………..3分

， 且
、
分别是
、
的中点

……………..4分

. ……………..5分

（2）连接
,

在
，

，即
.

由（1）知，
，分别以
、
、
为
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，

利用
得
、
， …………….6分

设平面
的法向量
，则

，令
，则
，
，

即
，
……………8分

同理可求平面
法向量为
……………10分

……………11分

. ……………12分

20.解：（Ⅰ）如图，设
，把
代入
得

． ……………1分

由韦达定理得
． ……………2分

， ……………3分

点的坐标为
． ……………5分

（Ⅱ）假设存在以为
直径的圆过点
．则有

把
代入
得

．由韦达定理得
． ……………6分

，
点的坐标为
． ……………7分

，则

=

=0 ……………8分

，
，解得
． ……………9分

则圆心M点的坐标为（
） ……………10分

=
=
……………11分

所以圆的方程为
……………12分

21. （1）

， ……………1分

令

，因为
，

所以
， ……………2分

所以
（即
）在
上递增，

所以
，所以
在
上递增， ……………4分

所以
……………5分

（2）设
的切点
，
的切点
，

解得
， ......7分

所以
，
，
，
代入
得
，令

，
在
递减，在
上递增 ......9分

当
时，因为
，所以
......10分

当
时，
，
，所以
，

综上
或
......12分

22.

是切线

又
是
的平分线，
，

......3分

是圆
的直径，

......5分

（2）

由（1）得

......7分

∽
， ......9分

......10分

23. （1）曲线
的直角坐标方程为
......2分

所以参数方程为
，（为参数） ......5分

（2）
，

......7分

=
， ......9分

当且仅当
时即
时，
......10分

24. 解：（Ⅰ）由题意

分

当
时，
，解得

当
时，
，解得

当
时，
，解得

分

综上：

分

（Ⅱ）由题意

令
恒成立
分

在
单调递减

分

分