科目：数学（理科）

（试题卷）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名

准考证号

绝密★启用前

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知复数满足
（i为虚数单位），则z的值为

A．i B．－i C．1 D．－1

2．设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于

A．0 B．1 C．2 D．3

3．二项式
的展开式中常数项为

A．－15 B．15 C．－20 D．20

4．设A，B为两个互不相同的集合，命题P：
， 命题q：
或
，则
是
的

A．充分且必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分且非必要条件

5．已知集合
，若
，使得
成立，则实数b的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．函数
的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若
，则的值为

A．
B．
C．
D．

7．设变量x，y满足约束条件
，则z＝x－3y的最大值为

A．
B．4 C．3 D．

8．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则
的值是

A．
B．
C．
D．

9．若两条异面直线所成的角为
，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有

A．12对 B．18对 C．24 对 D．30对

10．已知函数
在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式
恒成立，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。

11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，
，则
=_________.

12．（选修4－3：不等式证明）不等式
有实数解的充要条件是_____.

13．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为
，则圆心C到直线l距离为______.

（二）必做题（14~16题）

14．设点P是双曲线
与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且
，则双曲线的离心率为______.

15．已知数列
中，
，若利用如图所示的程

序框图进行运算，则输出n的值为 .

16．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足
，则称a、

b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集

合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好

集”.若集合
，集合
.则

（1）“好集” P中的元素最大值为 ；

（2）“好集” P的个数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
，求f(B)的取值范围．

18．（12分）在如图所示的几何体中，
平面
，
∥
， 是
的中点，
，
．

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小的余弦值．

19．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为
，求
；

（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

20．（13分）某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为
个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf(x)，其中
，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.

（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?

（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.

21．（13分）已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点.

（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求
面积的最小值.

22.（13分）设函数
在
上的最大值为
（
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有
成立；

（III）设数列
的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有
成立．

2014年长沙市高考模拟试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

因此f (x)的值域为
. ……12分

18.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）因为
，
∥
，所以
平面
．

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是
，
，
，
，

，
．

所以
，

因为平面
的一个法向量为
，

所以
，

又因为
平面
，所以
平面
． ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，
．

设
是平面
的一个法向量，由
得

19.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为
，且两人中奖与否互不影响．

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，

则事件A的对立事件为“X＝5”，

因为P(X＝5)＝×
，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×
=
，所以
.……6分

（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，

选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．

由已知可得，X1～B，X2～B
，

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×
，

从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6
.

……12分

20.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为
，

渔场的水质达到有效净化

或

或
，即：
，

所以如果投放的药剂质量为
，自来水达到有效净化一共可持续8天 .………6分

21.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）设
，
（
）.

易知
斜率存在，设为
，则
方程为
.

由
得，
…………… ①

由直线
与抛物线
相切，知
.

于是，
，
方程为
.

同理，
方程为
.

联立
、
方程可得点坐标为
，

∵
，
方程为
，

过抛物线
的焦点
.

∴
.

∴
.

设
（
），
，

由
知，
，当且仅当
时等号成立.

∴
.

设
，则
.

∴
时，
；
时，
.
在区间
上为减函数；

在区间
上为增函数.

∴
时，
取最小值
.

∴ 当
，
，

即
，
时，
面积取最小值
. ………… 13分

22.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）

，

当
时，由
知
或
，

当
时，则
，
时，
，
在
上单调递减，

所以

当
时，
，
时，
，
时，
，

∴
在
处取得最大值，即

当
时，由（II）知

．

所以，对任意正整数，都有
成立． ……13分