北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（文史类）

2014．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）若全集
，
，
，则集合
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）下列函数中，既是奇函数又在区间
上单调递增的函数为

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知抛物线
,则它的焦点坐标是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）执行如图所示的程序框图．若输入
,则输出
的值是

（A）2 （B） 3 （C） 4 （D） 5

（5）由直线
，
和
所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）在区间
上随机取一个数
，则事件：“
”的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）设等差数列
的公差为
，前
项和为
.若
，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

( 8 )已知平面上点
其中
，当
，
变化时，则满足条件的点
在平面上所组成图形的面积是

(A)
(B)
( C)
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9.计算
.

10.已知两点
，
，若
，则
点坐标是 .

11.圆心在
轴上，半径长是
，且与直线
相切的圆的方程是 ．

12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．

13.设一列匀速行驶的火车，通过长860
的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是
.该列车以同样的速度穿过长790
的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时
，则这列火车的长度为___
.

14.在如图所示的棱长为
的正方体
中，作与平面
平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___；

截得的平面图形中面积最大的值是___.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题满分13分）

在
中，
，
，
分别是角
的对边.已知
，
.

（Ⅰ）若
，求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求边
的长.

16. （本小题满分13分）

某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．

17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
底面
．

（Ⅰ）若
，
分别为
，
中点，

求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）若
，

求证：平面
平面
．

18.（本小题满分13分）

已知函数
（
,
）.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处切线的方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，若

恒成立，求
的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）若直线

与椭圆
交于
两点，是否存在实数
，使
成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数
对任意
都满足
，且
，数列
满足：
，
.

（Ⅰ）求
及
的值;

（Ⅱ）求数列
的通项公式;

（Ⅲ）若
，试问数列
是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试文史类答案

2014.5

一、选择题（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

C

A

D

B

C





二、填空题（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案






和


；

200


；



三、解答题（满分80分）

15. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由正弦定理
，

得
，解得
.

由于
为三角形内角，
，则
，所以
. ………6分

（Ⅱ）依题意，
，即
.整理得
，

又
，所以
. ………13分

另解：

由于
，所以
，解得
.

由于
,所以
.

由
，得
.

由勾股定理
，解得
. ………13分

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知，

参加社区服务在时间段
的学生人数为
（人），

参加社区服务在时间段
的学生人数为
（人）．

所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
（人）．

………5分

（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件
．

由（Ⅰ）可知，

参加社区服务在时间段
的学生有4人，记为
；

参加社区服务在时间段
的学生有2人，记为
．

从这6人中任意选取2人有

共15种情况．

事件
包括
共7种情况．

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率
．………13分

17. （本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）如图，连结
．

因为底面
是正方形，

所以
与
互相平分．

又因为
是
中点，

所以
是
中点．

在△
中，
是
中点，
是
中点，

所以
∥
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ………4分

（Ⅱ）因为平面
底面
，且平面
平面
，

又
，

所以
面
．

又因为
平面
，

所以

．即

． ………9分

（Ⅲ）在△
中，因为
，

所以
．

由（Ⅱ）可知

，且
，

所以
平面
．

又因为
平面
，

所以面
平面
． ………14分

18. （本小题满分13分）

（Ⅰ）
,
.

当
时，
.

依题意
，即在
处切线的斜率为
.

把
代入
中，得
.

则曲线
在
处切线的方程为
. ………………….4分

（Ⅱ）函数
的定义域为
.

由于
.

（1）若
，

当
，即
时，函数
为增函数；

当
，即
和
时，函数
为减函数.

（2）若
，

当
，即
和
时，函数
为增函数；

当
，即
时，函数
为减函数.

综上所述，
时，函数
的单调增区间为
；单调减区间为
，
.

时, 函数
的单调增区间为
，
;单调减区间为