东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，集合
，则
=

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输

出的结果为0时，输入的
值为

（A）
或

（B）
或

（C）
或

（D）
或

(4) 如果实数
，
满足条件
则
的最大值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）设
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）若直线
（
为参数）被圆
（
为参数）所截的弦长为
，则
的值为

（A）
或
（B）
或

（C）
或
（D）
或

（8）对任意实数
，
定义运算“⊙”：
设
，若函数
的图象与
轴恰有三个交点，则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知
，那么
．

（10）已知平面向量
，
，若
，
，
，则
；向量
，
夹角的大小为 ．

（11）在区间
上随机取两个实数
，
,则事件“
”的概率为_________．

（12）如图所示，
与圆
相切于
，直线
交圆
于
，
两点，
，垂足为
，且
是
的中点，若
，则
．

（13）若直线
与抛物线
相交于
，
两点，且
，
两点在抛物线的准线上的射影分别是
，
，若
，则
的值是 ．

（14）在棱长为
的正方体
中，点
是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
，

①若
，则满足条件的点
的个数为________；

②若满足
的点
的个数为
，则
的取值范围是________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了
名年龄段在
，
，
，
的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在
的人数；

（Ⅱ）从不小于
岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取
人，求
年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的
人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记
为年龄在
年龄段的人数，求
的分布列及数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，四棱锥
中，平面

平面
,
//
,
,

,且
，
.

（I）求证：
平面
；

（II）求
和平面
所成角的正弦值；

（III）在线段
上是否存在一点
使得平面

平面
，请说明理由.

（18）（本小题共13分）

已知
，函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的
，都有
.

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的一个焦点为
，且离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为
的直线
过点
，且与椭圆交于
两点，
为直线
上的一点，若△
为等边三角形，求直线
的方程.

（20）（本小题共14分）

设
是一个自然数，
是
的各位数字的平方和，定义数列
：
是自然数，
（
，
）．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）当
时，求证：存在
，使得
．

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）C （4）D

（5）D （6）C （7）C （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）

　　　　　 　

　　　　　 　

　　　　　 　

　　　　　 　
．

所以
． …………………7分

（Ⅱ）当
时，
．

所以，当
时，即
时，函数
取得最小值
；

当
时，即
时，函数
取得最大值
．…………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）
，

　　
，

　　即随机抽取的市民中年龄段在
的人数为
．………………………4分

（Ⅱ）
，
，

所以
，

即抽取的
人中
年龄段抽取的人数为
． ……………………7分

（Ⅲ）
的所有可能取值为
，
，
．

；

；

．

所以
的分布列为




















的数学期望为
．………………………13分

（17）（共14分）

解：（I）由
，
.,

可得
．

由
，且
，

可得
．

又
．

所以
．

又平面

平面
，

平面

平面

，

平面
，

所以
平面
．　　　　　　　　　……………５分

（II）如图建立空间直角坐标系
，

则
，
，
，
，

，
，
．

设
是平面
的一个法向量，则
，
，

即

令
，则
．

设直线
与平面
所成的角为
，

则
．

所以
和平面
所成的角的正弦值
．　　　　　　……………1０分

（III）设
，
．

，
，
.

则
．

设
是平面
一个法向量，则
，
，

即

令
，则
．

若平面