命题人：马利平 徐香丽 审题人：张庆云

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。)

1．已知全集U＝R，集合
，
，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为 （ ）

2．设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．3[来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学科网ZXXK]

3.已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ ）

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

4．若下面的程序框图输出的S是126，则
①应为

（ ）

A．
　　 　 B．
　　

　C．
　　　　 D．

5. 函
数
的大致图像为 （ ）．

6．某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为
，则双曲线
的一条渐近线的倾斜角小于
的概率为（ ）

9．设
是
展开式的中间项，若
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

10.如图，
是双曲线
：
的

左、右焦点，过
的直线
与
的左、右两支分别交于
两点．若
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．
则棱锥S—ABC的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在R上的奇函数
满足
（其中e=2.7182…），且在区间[e,2e]上是减函数，令
，则f(a), f(b), f(c) 的大小关系（用不等号连接）为

A．f(b)>f(a)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(a)>f(c)>f(b)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。

13.已知变量
，
满足约束条件
。若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则
的取值范围为 。

14.设函数f(x)=(x-3)3 +x-1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)+f(a2) + …+f(a7) =14,则 a1 +a2 +…+a7 = .

15．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…
，9的9个小正方形（如下图），得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．

16．已知椭圆
是椭圆上两点，有下列三个不等式①
②
③
.

其中不等式恒成立的序号是　 　　 .（填所有正确命题的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本题满分12分）

已知
是各项均为正数的等比数列，且
，
.

(Ⅰ) 求
的通项公式；（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

18．(本题满分12分)

前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为
本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从
这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数
据，若从
该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数
，求
的分布列及数学期望．

19．（本题满分12分）

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△
，使得平面
⊥平面ABD．

（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的余弦值

20. (本题满分12分）

已知椭圆
：
的右焦点
在圆
上，直线
交椭圆于
、
两点.

(1)求椭圆
的方
程；

(2)若
(
为坐标原点)，求
的值；

(3)设点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），且直线

与
轴交于点
，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

21. (本题满分12分)

已知函数
(其中
).

(1) 若
为
的极值点,求
的值；

(2) 在(1)的条件下,解不等式
；

(3) 若函数
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围.

选做题：

22.（本题满分10分）

选修4－1：几何证明选讲

如图，
是圆
上三个点，
是
的平分线，交圆
于
，过
做直线
交
延长线于
，使
平分
.

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，
，
，求
的长.

24．（本题满分10分）

选修4
5：不等式选讲

已知函数
，
，且
的解集为
.

（1）求
的值；

（2）若
，且
求证:
.

试题答案

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)

1-12. BDBBD ACCDD BA

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.
14.21 15.108 16. ①②③

17. (本题满分12分)解：（Ⅰ）设公比为q，则
.由已知有

化简得

12分=6+6分

18. (本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ； （2分）

（2）设
表示所取3人
中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
； （4分）

（3）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；

；

所以
的分布列为：

























. （12分）

19、(本题满分12分)（1）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△
,可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，
． ∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，
平面
， ∴
平面
．

如图，以D为原点，

建立空间直角坐标系
．

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，[来源:学科网]

∴
，即
，

令
，得
，故
．设直线
与平面
所成角为
，则

．∴
直线
与平面
所成角的正弦值为
． （6分）

(2）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
， 而平面
的法向量为
，

∴
，

因为二面角
为锐角，所以二面角
的余弦值为
．（12分）

20．(本题满分12分)解(1)由题设知，圆
的圆心坐标是
，半径为
，

故圆
与
轴交与两点
，
. 所以，在椭圆中
或
，又
，

所以，
或
(舍去，∵
),于是，椭圆
的方程为
.（3分）

(2)设
，
；直线
与椭圆
方程联立
,

化简并整理得
.∴
，
,

∴
，

.

∵
，∴
,即
得

∴
，
，即
为定值（7分）

(3)∵
，
, ∴直线
的方程为
.

令
，则

,

∴

当且仅当
即
时等号成立.

故
的面积存在最大值
.

(或:
,

令
，

则
.

当且仅当
时等号成立，此时
.

故
的面积存在最大值
.解法二：

. 点
到直线
的距离是
. 所以，

.令
，

,

当且仅当
时，此时
,故
的面积存在最大值，其最大值为
.

（12分）

21. (本题满分12分)解：(Ⅰ)因为

…

因为
为
的极值点,所以由
,解得

检验,当
时,
,当
时,
,当
时,
.

所以
为
的极值点,故
.（2分）

(2) 当
时,不等式

,

整理得
,即
或
令
,
,
,

当
时,
；当
时,
,

所以
在
单调递减,在
单调递增,所以
,即
,

所以
在
上单调递增,而
；

故
；
,

所以原不等式的解集为
；（6分）

(3) 当
时,

因为
,所以
,所以
在
上是增函数.

当
时,
,
时,
是增函数,
.

若
,则
,由
得
；

若
,则
,由
得
.

③ 若
,
,不合题意,舍去.

综上可得,实数
的取值范围是
（12分）

22. (本题满分10分) (1)证明：连接
并延长交圆
于
，连接

，又

平分
，
平分
,
.

又

，
,

,

,

.

是圆
的切线.（5分）

注:此题只有基本定义证明垂直这一方法，逆用弦切角定理等证法均错！

（2）由（1）可知△
∽△
，
,
，

，
，
，
.

由切割线定理得：

. （10分）

23. (本题满分10分)由
，

得
，即
.

将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

＋
＝4，即
，

，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以
,

（1）
，

，
点
的极坐标为
. （5分）[来源:学_科_网]

（2）又直线l过点，故由上式及参数t的几何意义得
=

＝
. （10分）

24. (本题满分10分(1)
，
.

当m＜1时，
，
不等式
的解集为
，不符题意.

当
时，
①当
时，得
，
.

②当
时，得
，即
恒成立.

③当
时，得
，
.

综上
的解集为
.由题意得
，
. （5分）

(2)
,
,

,
,

由(1)知

,
（10分）