命题人：郑书芬 审题人：刘明
江

第Ⅰ卷

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。)

1．已知全集U＝R，集合
，
，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为 （ ）

2．设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．3

3.已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，
[来源:Z|xx|k.Com]

4．若下面的程序框图输出的S是126，则①应为

（ ）

A．
　　 　 B．
　　

　C．
　　　　 D．

5. 函数
的大致图像为 （ ）．

6．某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为
，则双曲线
的一条渐近线的倾斜角小于
的概率为 （ ）

7．已知
为异面直线,
平面
,
平面
.直线
满足
,则 (
)

A．
,且
B．
,且

C．
与
相交,且交线垂直于
D．
与
相交,且交线平行于

8.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度相
等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为
( )

A．

B．
C．
D．

9．已知等差数列
,公差为d，前n项和为Sn，若S5=25，只有S9是Sn的最大值，则( )

A.- ＜d＜-  B. - ≤d≤- 

C. – ＜d＜-1 D. – ≤d≤-1 [来源:学科网ZXXK]

10.如图，
是双曲线
：
的

左、右焦点，过
的直线
与
的左、右两支分别交于
两点．若
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．
则棱锥S—ABC的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在R上的奇函数
满足
（其中e=2.7182…），且在
区间[e,2e]上是减函数，令
，则f(a), f(b), f(c) 的大小关系（用不
等号连接）为

A．f(b)>f(a)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(a)>f(c)>f(b)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。

13.已知变量
，
满足约束条件
。若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则
的取值范围为 。

14．在锐角(ABC中，角A、
B、C的对边分别为
,若

(ABC的面积为c2，则∠C=　 　．

15．已知点M是y=
上一点，F为抛物线的焦点，A在C：
上，则|MA|+|MF|的最小值为_________.

16. 函数f(x)=Asin(
(A,
为常数，A>0，

,|
<
)的部分图象如图所示,

则f(0)的值是_______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知
是各项均为正数的等比例数
列，且
，
.

(Ⅰ) 求
的通项公式；（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
.

18．(本题满分12分)

某校高三年级发展均衡，各班均有学生50人，全校共有20个平行班级.随机选择一个班，将他们的期中数学考试成绩（折合成满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：[40,50), [50,60) ,……, [90,100], 得到如图所示频率分布直方图.

（1）请估计该校这20个班级中成绩不低于60分的人数；

（2）为了帮助学生提高数学成绩，该班班主任决定成立“二帮一”小组：对成绩在[40,50)内的每位同学，从
成绩在
[90,100]中选两位同学对其数学学习提供帮助，各组成员没有重复.已知甲成绩为42分，乙成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的
概率.

19．（本题满分12分）

如图，已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F、G分别是AB、PD、PC的中点.

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）若PD与平面ABCD所成角为60°，且AD=2，AB=4，求点A到平面PED的距离．

[来源:学科网ZXXK]

20. (本小题满分12分）

已知椭圆
：
的右焦点
在圆
上，直线
交椭圆于
、
两点.

(1)求椭圆
的方程；

(2)若
(
为坐标原点)，求
的值；

(3)设点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），且直线

与
轴交于点
，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

21. (本题满分12分)

已知

．

（Ⅰ）求函数
在[t, t+2](t＞0)上的最小值；

（Ⅱ）若对一切
恒成立，求实数
的取值范围．

22.（本题满分10分）

选修4－1：几何证明选讲

如图，
是圆
上三个点，
是
的平分线，交圆
于
，过
做直线
交
延长线于
，使
平分
.

（1）求证：
是圆
的切线；

（2）若
，
，
，求
的长.

南阳一中2014届第十五次周考

高三数学（文科）试题答案

1-12. BDBBD ADCAD BA

13.
14. 600 15. 4, 16.

17.解：（Ⅰ）设公比为q，则
.由已知有

化简得

18. （本小题满分12分）

解：（1）根据频率分布直方图，

成绩不低于60分的频率为
．[来源:Z§xx§k.Com]

由于该校高一年级共有学生50×20=1000人，利用样本估计总体的思想，

可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为
人．

（2）成绩在
分数段内的人数为
人

成绩在
分数段内的人数为
人，

将[40，50）内2人记为甲、A．[90，100）内5人记为乙、B、C、D、
．

“二帮一”小组有以下20种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙
, 甲BC，甲BD，甲B
,甲CD， 甲C
, 甲DE, A乙B，A乙C，A乙D，A乙
, ABC，ABD，AB
,ACD， AC
, ADE,

其中甲、乙两同学被分在同一
小组有4种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲乙

所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为
．

即点A到平面PED的距离为

20．解(1)由题设知，圆
的圆心坐标是
，半径为
，

故圆
与
轴交与两点
，
. 所以，在椭圆中
或
，又
，

所以，
或
(舍去，∵
),于是，椭圆
的方程为
.

(2)设
，
；直线
与椭圆
方程
联立
,

化简并整理得
.∴
，
,

∴
，

.

∵
，∴
,即
得

∴
，
，即
为定值

(3)∵
，
, ∴直线
的方程为
.

令
，则

,

∴

当且仅当
即
时等号成立.

故
的面积存在最大值
.

(或:
,

令
，

则
.

当且仅当
时等号成立，此时
.

故
的面积存在最大值
.解法二：

.

点
到直线
的距离是
.

所以，

.令
，

,

当且仅当
时，此时
,

故
的面积存在最大值，其最大值为
.

21解（1）
令
得

时，
，
为减函数

时，
为增函数

∴
时，
(t>0),
在
处取得最小值
.[来源:Zxxk.Com]

时,
在
上为增函数，
在x=t处取得最小值，
.

综上
……..（6分）

（2）由
及
变形得
.令
,则

.

当0

x>1时,
,
为增函数.∴
在x=1处取得最小值
.

∴使
恒成立的a的取值范围是
.

22. (
1)证明：连接
并延长交圆
于
，连接

，又

平分
，
平分
,
.

又

，
,

,

,

. ……………5分

是圆
的切线.

（2）由（1）可知△
∽△
，
,
，

，
，
，
. ……8分

由切割线定理得：

.

23. 由
，

得
，即
.

将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

＋
＝4，即
，

，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以
,

（1）
，

，
点
的极坐标为
.

（2）又直线l过点，故由上式及参数t的几何意义得
=

＝
.

24. (1)
，
.

当m＜1时，
，
不等式
的解集为
，不符题意.

当
时，

①当
时，得
，
.[来源:学。科。网]

②当
时，得
，即
恒成立.

③当
时，得
，
.

综上
的解集为
.

由题意得
，
.

(2)
,
,

,
,

由(1)知

,