高三数学（理科）试题

命题人：张朝 审题人：王大静

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1. 复数
（
是虚数单位）的虚部为( )

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网]

2.已知全集
，集合
，
，则
( )

A．

B．
C．
D．

3.已知向量
,
,
,则“
”是“
”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[来源:学#科#网Z#X#X#K]

4.在等差数列
中，已知
，则
= （ ）

A．10 B．18 C．20 D．28

5．以下四个命题中：

①为了了解800名
学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为
的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔

为40.

②线性回归直线方程
恒过样本中心
，
且至少过一个样本点；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布
．若ξ在
内取值的概率为
，则ξ在
内取值的概率为
；

其中真命题的个数为( )

A．
　 B．
C．
D．

6．在二项式
的展开式中，
项的系数为( )

A．8 B．4 C．6 D．12

7.函数

的部分图象如图所示，若
，且
，则
( )

A．
　 　 B．
C．
　　 D．

8.如图所示，曲线
，
围成的阴影部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设
其中实数
满足
，若
的最大值为
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

10.已知
、
是双曲线
的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点
与点
关于直线
对称，则该双曲线的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

11．在
中，
分别为内角
所对的边，
，且满足
．若点
是
外一点，

,
，平面四边形

面积的最大值是( )

A．
B．
C．3 D．

12.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当x∈[0,1]时，其图象是四分

之一圆(如图
所示)，则函数H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )

A.5 B.4 C.3 D.2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.如图是某算法的程序框图，若任意输入
中的实数
，

则输出的
大于
的概率为 ;

14
．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为
的扇形, 则该几何体的侧面积为

15．已知直角梯形
,
，
，
沿
折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积

16.已知在平面直角坐标系中有一个点列：
，……，
．若点
到点
的变化关系为：

，则
等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分[来源:学+科+网]

18．（本小题满分12分）

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．

每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

（Ⅰ）写出
列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为
，正确回

答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是
，且各个问题回答正确与否互

不影响．设该选手所获梦想基金总数为
，求
的分布列及数学期望．

参考公式
其中
）

19. (本小题满分12分)如图,在斜三棱柱
中,侧面
⊥底面
,侧棱
与底面
成60°的角,
.底面
是边长为2的正三角形,其重心为
点,
是线段
上一点,且
.

(1)求证:
//侧面
;

(2)求平面
与底面
所成锐二面角的余弦值。

20、 已知椭圆
，抛物线

的焦点均在x轴上，
的中心和
的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，
其坐标分别是
，(一2，o)，(4，一4)，
。

(I)求
、
的标准方程；

(Ⅱ)是否存在直线L满足条
件：①过
的焦点F；②与
交与不同的两点M，N且满足
。

若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

21. （本题满分12分）

已知函数

(1)若
求
在
处的切线方程;

(
2)若
在区间
上恰有两个零点,求
的取值范围.

23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系
,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线
的参数方程为
。点
是曲线
上两点，点
的极坐标分别为
。

（I）写出曲线
的普通方程和极坐标方程;

（II）求
的值.

 周考17理数答案

1-12 CAAC BADA BBAB

13.
；14、
15、
； 16、
；

17.（1）当
时,
,∴

当
时,
, 即

∴数列
是以
为首项,3为公比的等比数列,∴
，

设
的公差为

∴
………………………6分

（2）
，

①

②

由①
②得，

………………………12分

18. 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，

……………2分

正确

错误

合计



20~30（岁）

10

30

40



30~40（岁）

10

70

80



合计

20

100

120





联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=
=3

∵
……………3分

∴有
90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．

……………4分

（Ⅱ）
的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000[来源:学科网]

则
……………5分

……………6分

……………7分

……………8分

……………9分

的分布列为

0

10
00

3000

6000

11000



















数学期望

19.【答案】解法1:(1)延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=
EC1,∴BF=
B1C1=
BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且
,

又GE
侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …………5分

(
2) ∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图,

则
,
,
,
,
,
.

∵G为△ABC的重心,∴
.
,∴
,

∴
. 又GE
侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …………6分

(2)设平面B1GE的法向量为
,则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
,则
.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为
. …………12分

20解：(Ⅰ)设抛物线
，则有
，

据此验证
个点知（3，
），（4，
4）在抛物线上，易求
……2分

设
：
，把点（
2，0）,（
，
）代入得：

解得
. ∴
方程为
….…….………5分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，

直线
的方程为
，直线
交抛物线于
,

不满足题意 …….…………6分

当直线
斜率存在时，假设存在直线
过抛物线焦点
，设其方程为
，与
的交点坐标为
.

由
消去
并整理得
，

于是
，
.① ….…….………………8分

.

即
.② .…………9分

由
，即
，得
（*）.

将①、②代入（*）式，得
，解得
，

所以存在直线
满足条件，且
的方程为：
或
. ……12分

21

22