上海市三林中学高三数学寒假检测试卷（理）2014.2

一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题。

1、设集合
，
，则
___
_______。

2、已知
，则
_______
__________．

3、求
的二项展开式中所有项的系数之和等于 6561 ．

4、设函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则当
时，
的解析式为
[来源:Z*xx*k.Com]

5、将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为____
_

6、函数
的最小正周期为
．

7、若不等式
对于一切
恒成立，则实数
的取值范围是___
________．

8、在等差数列
中，已知
则
42 ．

9、设
（i为虚数单位），则

．

10、设
，行列式
中第3行第2列的代数余子式记作
，函数
的反函数经过点
，则
　
．

11、已知平面向量
，若
，则

．

12、已知
是等差数列，设

．某学生设计了一个求
的算法框图（如图），图中空白处理框中是用
的表达式对
赋值，则空白处理框中应填入：
←_
_．

13、 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t
（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
（a为
常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室.

14、设
的内角
所对的边为
；则下列命题正确的是①②③ ①若
；则
②若
；则

 ③若
；则
④若
；则
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题．

15、已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，以下命题正确的是（ C ）（A） 若
,

, 则
； （B）若
,
, 则
；（C）若
,
, 则
； （D） 若
,
, 则
；

16、已知
，且
，则下列不等式中不正确的是---------------------------（ D ）

(A)
(B)

（C）
（D）

17、为得到函数
图像，需将
图像（ C )

(A)向左平移
(B)向右平移
（C）向左平移
（D）向右平移

18、方程
的正根从小到大地依次排列为
，则正确的结论为（ B ）（A）
（B）
（C）
（D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题（12+14+14+16+18）[来源:学。科。网]

19、已知集合A＝
，B＝
.

（1）当a＝2时，求A
B； （2）求使B
A的实数a的取值范围.

解：（1）当
时，
，
,从而

（2）易得
，因为
，所以，

因为
，所以①
；②当
时，不符合题意；

③
。 综合以上，
的取值范围时

20．已知
是底面边长
正四棱柱，
为
与
的交点。（1）设
与底面
所成的角为
，求该
棱柱的侧面积;（2）若点
到平面
的
距离为
，求四棱柱
的体积。解:(1) 连
，
底面
于
，∴
与底面
所成的角为
，即
,则
,则

.⑵ 建立如图空间直角坐标系，有

设平面
的一个法向量为
，∵
，取
得
∴ 点
到平面
的距离为
，则
。则
.21．已知函数
且
(1)若对任意
都有
求
的取值范围;(2)若
,且存在
,使得
,求
的取值范围.

解:
,令
则
对任意
恒成立,等价于对任意的
,
恒成立.则有
,解得
的取值范围为
.(2)
,则
,从而
于是存在
,使得
的充分条件是
,解得:
.

22.设数列
的通项公式为
. 数列
定义如下：对于正
整
数m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值.（1）若
，求
；（2）若
，求数列
的前2m项和公式；
（3）是否存在
和
，使
得
？如果存在，求
和
的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解:（1）由题意，得
，解
，得

∴
成立的所有n中的最小整数为
，即
.（2）由题意，得
，对于正整数，由
，得
.根据
的定义可知当
时，
；当
时，
.∴


.

（3）假设存在
和
满足条件，由不等式
及
得
.∵
,根据
的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即
对任意的正整数m都成立. 当
（或
）时，得
（或
）， 这与
上述结论矛盾！

 当
，即
时，得
，解得
. ∴ 存在
和
，使得

；存在
和
的取值范围分别是
，
.

23．（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）

已知定义在
上的函数
对任意的正数
x、y恒有
，若
，且
时，
．

(1)判断
在
上的单调性；

(2)数列
中，
，其前n项和为
，且当
时，
，试求数列
的通项公式；

(3)在(2)的前提下，问是否存在正数M，使不等式[来源:学,科,网Z,X,X,K]

(
)恒成立？若存在，求M的范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）设0

∵
>1，∴
>0，即
>
，∴
在(0，+∞)上为增函数。

（2）由已知及
，
，∴
，

n=1时，a1=1，

n≥2时，2
=
-
=
-
+
-
，[来源:学科网ZXXK]

∴
-
=
+
，∵
>0，∴
-
=1，∴
=n．

(3)∵
，

∴
，

即
，

∵
=
>1，∴g(n+1) >g(n)，∴g(n) 在
上为增函数．

∴g(n)min=g(1)=
，∴存在正数
，且
．