一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、复数
等于（ ）

A．
B.
C.
D.

2.已知全集
，集合
，则
＝（ ）

（
A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知
为等差数列,若
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.在
中,若
,则
的形状一定是（　　）

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不含
角的等腰三角形

5.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中
各至少选一门,则不同的选法共有( )种

A. 30 B. 60 C 48 D 52

6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则
的取值范围为（ ）[来源:Z.xx.k.Com]

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网]

7.已知
的最小值是
，则二项式
展开式中
项的系数为（ ）

A．
B．
C．6 D．

8若动圆的圆心在抛物线
上，且与直线
相切，则此圆恒过定点（ ）

A.
B.
C.
D.

9.能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“优美函数”,下列函数不是圆
的“优美函数”的是（　　）

A．
B．
C．
D．

10．点P是双曲线
左支上的一点，其右焦点为
，若
为线段
的中点, 且
到坐标原点的距离为
，则双曲线的离
心率
的取值范围是 ( )

A．
B．
C．
D．

11、在区间
内随机取两个数分别记为
，则使得函数
有零点的概率为 （　　）

A .
B.

C.
D.

12已知函数
,
,设函数
，且函数
的零点均在区间
内，则
的最小值为（ ）

A、8 B、9 C、10 D、11

二、填空题.(共4小题，每小题5分，共20分)

13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14．若双曲线
与直线
无交点，则离心
率
的取值范围是 .

15.下列四个命题:

①集合
的真子集的个数为
；

②6的二项展开式中的常数项为160

③

④已知
，条件
：

，条件
：
，则
是
的充分必要条件，其中真命题的个数是________

16、已知函数
，若存在实数
、
、
、
，满足

，其中
，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明
过程和演算步骤。

17、设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
面积的最大值．

18甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
，

且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为
.

（1）求
的值，

(2）设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X，求X的分布列和数学期望EX

19、如图，在直三棱柱
中，底面△
为等腰直角三角形，
，
为棱
上一点，且平面
⊥平面
.

(Ⅰ)求证：
为
棱
的中点；（Ⅱ）
为何值时，

二面角
的平面角为
.

20．已知函数
．

（1）当
时，求
在区间

上的最大值和最小值；

（2）如果函数
，
，
，在公共定义域D上，满足
，那么就称为
为
的“活动函数”．已知函数
，
．若在区间
上，函数
是
，
的“活动函数”，求
的取值范围。

21、已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率

，且经过点A
.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果斜率为
的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.

(3) 试求三角形AEF面积S取得最大值时，直线EF的方程.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答（本小题满分10分）

22. 如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE．

（1）求证：
；

（2）求证：

23. 在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为
.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|.

24. 设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）
，使
，求实数的取值范围．

（Ⅱ）设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
，设
为曲线
上任一点，求
的最小值，并求相应点
的坐标。

郑州四中2014届第六次调考数学（理科）答题卷

二、填空题

13___________ 14____________ 15_____________ 16_____________

三、解答题

17解



18解



19解：





20解：

21解

22、23、24选做一题（在所选题号上打对勾）

[来源:学|科|网]





郑州四中2014届第六次调考数学（理科）答案

[来源:Zxxk.Com]

17

18

（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝
，则D（0,0,b）,

A1 (a,0,2b), C (0,a,0)

所以，

设面DA1C的法向量为

则

可取
8分

又可取平面AA1DB的法向量

据题意有：
解得：
＝
12分

(Ⅱ)解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； 9分

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝
；

在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG.

在
DBG中，BH ＝
＝
，

在
CHB中，tan∠CHB ＝
＝
，

据题意有：
＝ tan600 ＝
，

解得：
所以
＝
12分

若
，令
，得极值点
，
，

当
，即
时，在（
，+∞）上有
，此时
在区间（
，+∞）上是增函数，并且在该区间上有
∈（
，+∞），不合题意；

当
，即
时，同理可知，
在区间（1
，+∞）上，有
∈（
，+∞），也不

合题意； 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分

2） 若
，则有
，此时在区间（1，+∞）上恒有
，从而
在区间（1
，+∞）

上是减函数；要使
在此区间上恒成立，只须满足

，

所以

a

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分

又因为h/（x）= –x+2a–
=
<0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，

h（x）

另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a
=
,

h（x）在（1,+(）递减，只要h（1） ( 0, 得
，解得
． 。。。。。。。。。。。8分

而p`（x）=
对x(（1,+(） 且
有p`（x） <0．

只要p（1） ( 0,
，解得
,所以．
。。。。。。。。。。。。12分

21.解：（1）由题意，
,………………….1分

椭圆
经过点A
，
，

又
，解得
，
，所以椭圆方程为
. …………….3分

（2）设直线
的方程为：
，代入

得：
.

且
；………………….4分

设
，由题意，
，
；………………….5分

分子为：

又
，
，

.

即，直线
的斜率之和是为定值
.………………….8分

22．证明：（1）连结
，
，

∵
为圆
的直径，∴
，

∴
为圆
的直径, ∴
,

∵
，∴
,

∵
为弧
中点，∴
，

∵
,∴
,

∴
∽
，∴
，

………………………………………………………………5分

（2）由（1）知
，
,

∴
∽
,∴
,

由（1）知
，∴
． ……………………………………………10分

23. 【解析】

（Ⅰ）曲线
的普通方程为
，曲线

的直角坐标方程为
． …………………………………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）曲线
可化为
，表示圆心在
，半径

的圆，

则圆心到直线
的距离为
，所以
．………………10分

24. 【解析】

[来源:Zxxk.Com]