2014届高三调研测试题

数学试题（文科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷
前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. [来源:学科网ZXXK]

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后
，将答题卷和答题卡交回.

参考公式:锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面面积，
为锥体的高.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，
,则
（ ）

2. 已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
，则有（ ）.

A.
B.
C.
D.

4. 在区间
之间随机抽取一个数
,则
满足
的概率为( )

A．
. B．
C.
D.

5. 阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为( )

A.
B.
C.
D.

6．已知
椭圆与双曲线
的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为
，那么椭圆的离心率等于( )

A.
B.
C.
D.

[来源:Z#xx#k.Com]

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

8. 函数
是（ ）

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

9. 已知向量
与
的夹角为
,且
,若
,且,
,则实数
的值为( ）

A．
B．
C．
D．

10. 已知函数
，且函数
有且只有一个零点，则实数
的取值范围是( )

A．
B．

.
D．

二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.

(一)必做题(11～13题)

11. 等差数列
的前
项和为
，若
，则

12. 设实数x、y满足
，则
的最大值是_____________.

13．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，给定下列结论：

①y与x具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本点的中心（
，
）；

③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；

④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg.

其中正确的结论是 .

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆
的圆心到直线
的距离是 .

15. （几何证明选讲选做题）如图,
是圆
的直径,点
在圆
上,延长
到
使
,过
作圆
的切线交
于
.
若
,
则
_________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分１２分)

某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
.

（１）求直方图中
的值；

（２）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿.

17. (本题满分１２分)

如图，在
中，
，
，
，点
是
的中点．

（1）求边
的长；

（2）求
的值和中线
的长.

18．(本题满分１４分)

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，
面
,
．

(1)求证：平
；

(2))若
，求四棱锥
的体积．

19．(本题满分１４分)

已知函数
.

（1）当

时，求函数
单调区间；

(2) 若函数
在区间[1,2]上的最小值为
,求
的值.[来源:学科网]

20．(本题满分１４分)

已知
为公差不为零的等差数列，首项
，
的部分项
、
、…、
恰为等比数列，且
，
，
.

（1）求数列
的通项公式
（用
表示）；

（2）若数列
的前
项和为
，求
.

21．(本题满分１４分)

设抛物线
的焦点为
，点
，线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
，且与抛物线的准线相交于点
，以
为直径的圆记为圆
．

（1）求
的值；

（2）证明：圆
与
轴必有公共点；

（3）在坐标平面上是否存在定点
，使得圆
恒过点
？若存在，求出
的坐标；若不存在，说明理由．

2014届高三年级调研测试数学

( 文科)参考答案和评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答

在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不
给中间分．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．CAAAB BCADB

1. 解析：
，所以

，选C

2.解析：
是纯虚数，则
；
，选A

3. 解析：

，
，
，
选A.

4.解析:区间
看作总长度为2，区间
中满足
的只是
，长度为
，因为
是随机抽取的一个数，由几何概型计算公式知
满足
的概率为
.答案：

5. 答案：B

6. 解析：
，
，
选B

7. 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为
，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得
.答案：C

8. 解析：
，所以
是最小正周期为
的奇函数，选A

9. 解析：
得

选D

10. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出
与

的图
象，解析：如图，在同一坐标系中分别作出
与

的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当
时，

直线
与
只有一个交点.,选B

二、填空题:本大共5小题,考生作答
4小题,每小题5分，满分20分.

11.
12.
13. ①②③ 14.
15.

题目解析:

11. 解析:可已知可得,

12. 解析由可行域知,当
时,

13. 解析:利用概念得到①②③正确

14.解析：如下图:

15. 解析：如下图:
，得

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分１２分)

解：（1）由
，………………………….4分

则
………………………….6分

（2）上学所需时间不少于40的学生的频率为：

………
………………….8分

估计学校1000名新生中有：
………………………….11分

答：估计学校1000名新生中有250名学生可以申请住宿. …………………12分

17．(本题满分１２分)

解：在
中，由
可知，
是锐角，

所以，
………………………….2分

由正弦定理

……5分

(2)

………………………………………………8分

由余弦定理:

………………. …………………………………………………………………12分

18．(本题满分１4分)

证明：（1）由
是菱形

………………………………3分

由
是矩形

………………………………6分

（2）连接
，

由
是菱形，

由
面
,

，……………………………………………10分

则
为四棱锥
的高

由
是菱形，
，

则
为等边三角形，

由
；则

，
………………………………………14分

19. (本题满分１4分)

解：（1）解：
……………１分

因为
，所以
对任意实数
恒成立，

所以
在
是减函数…………………4分

(2)当
时，由（１）可知，
在区间[1,2]是减函数　

由

得
，（不符合舍去）…………………6分

当
时，

的两根
…………………7分

①当
，即
时，

在区间[1,2]恒成立，
在区间[1,2]是增函数，由
　得
…………………9分

②当
，即
时　

在区间[1,2]恒成立　
在区间[1,2]是减函数

　，
（不符合舍去）…………………11分

③当
，即
时，
在区间
是减函数，
在区间
是增函数；所以
　无解…………………13分

综上，
…………………14分

20. (本题满分１4分)

解：（1）
为公差不为
，由已知得
，
，
成等比数列，

∴

，……………………………1分

得
或
……………………………2分

若
，则
为
，这与
，
，
成等比数列矛盾，

所以
， ……………………………4分

所以

. ……………………………5分

（2）由（1）可知

∴
……………………………7分

而等比数列
的公比
。

……………………………9分

因此

，

∴

……………………………11分

∴

……………………………14分

解：（1）利用抛物线的定义得
，故线段
的中点的坐标为
，代入方程得
，解得
。 ……………………………2分

（2）由（1）得抛物线的方程为
，从而抛物线的准线方程为

……………………………3分

由
得方程
，

由直线与抛物线相切，得

……………………………4分

且
，从而
，即
， ……………………………5分

由
，解得
， ……………………………6分

∴
的中点
的坐标为
[来源:学#科#网]

圆心

到
轴距离
，

∵

所圆与
轴总有公共点. ……………………………8分

(或 由
,
,以线段
为直径的方程为:

令
得

,所圆与
轴总有公共点）.

……………………………9分

（3）假设平面内存在定点
满足条件，由抛物线对称性知点
在
轴上，设点
坐标为
， ……………………………10分

由（2）知
，

∴
。

由
得，

所以
，即
或

……………………………13分

所以平面上存在定点
，使得圆
恒过点
.

……………………………14分

证法二：由（2）知
，
，
的中点
的坐标为

所以圆
的方程为

……………………………11分

整理得

……………………………12分

上式对任意
均成立，

当且仅当
，解得
……………………………13分

所以平面上存在定点
，使得圆
恒过点
.

……………………………14分

[来源:学科网ZXXK]