2014届高三年级调研测试

数 学（理 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效.[来源:学科网ZXXK]

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

参考公式：棱锥的体积公式：
，
是棱锥底面积，
是棱锥的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
,
，,则
（ ）

2．已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 若
，则有（ ）.

A.
B.
C.
D.

4. 已知椭圆与双曲线
的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离
之和为
，那么椭圆的离心率等于( )

A.
B.
C.
D.

5. 函数
是（ ）

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

7. 已知向量
与
的夹角为
,且
,若
,且,
,则实数
的值为( ）

A．
B．
C．
D．

8. 设实数x、y满足
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9~13题）

9. 等差数列
的前
项和为
，若
，则

10.已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为___________.

11. 已知实数
，执行如图所示的程序框图，则输出的
不小于47的概率为　　．

12. 不等式
解集是_____________________.

13. 已知函数
，且关于x的方程
有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_
_______.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图,
是圆
的直径,点
在圆
上,延长
到
使
,过
作圆
的切线交
于
.若
,,
则
_________.

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆
的圆心到直线
的距离是

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

如图，在
中，
，
，
，点
是
的中点, 求:

（1）边
的长；

（2）
的值和中
线
的长

17. （本小题满分12分）

某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
.

（1）求直方图中
的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟
的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）现有６名上学路上时间小于
分钟的新生，其中２人上学路上时间小于
分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时间小于
分钟人数为
,求
的分布列和数学期望．

18. （本小题满分14分）

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，
平面
，
，
．

(1) 求证：平面
平面
；

(2) 若二面角
为直二面角，求直线
与平面
所成的角
的正弦值．

19.（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若
在
的最大值为
，求
的值.

20.（本小题满分14分）

已知
为公差不为零的等差数列，首项
，
的部分项
、
、…、
恰为等比数列，且
，
，
.

（1）求数列
的通项公式
（用
表示）；

（2）设数列
的前
项和为
, 求证：
（
是正整数

21.（本小题满分14分）

设抛物线
的焦点为
，点
，线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
，且与抛物线的准线相交于点
，以
为直径的圆记为圆
．

（1）求
的值；

（2）试判断圆
与
轴的位置关系；

（3）在坐标平面上是否存在定点
，使得圆
恒过点
？若存在，求出
的坐标；若不存在，说明理由．

2014届高三年级第一次模拟测试

(理科)参考答案和评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．[来源:学。科。网]

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

CAABA CDB

题目
解析:

1. 解析：
，所以

，选C

2.解析：
是纯虚数，则
；
，选A

3. 解析：

，
，
，
选A.

4. 解析：
，
，
选B

5. 解析：
，所以
是最小正周期为
的奇函数，选A

6. 解析：由三视图易知，该几何体是底面积为
，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得
.选C

7. 解析：
得

,选D

8. 解析：：作出可行域如图，当平行直线系
在直

线BC与点A间运动时，
，此时

，平行直线线
在点

O与BC之间运动时，
，此时，
.

.选B

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9.
10.
, 11.
12.
13.

14.
15.
.

题目解析:

9. 解析：可已知可得,

10. 解析：由几何概型得到输出的x不小于47的概率为P=
=

11. 解析：
，
，
切线方程
，即

12. 解析：设
，则
.由
，解得
，所以解集为

13. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出
与
的图象，

其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当
时，直线

与
只有一个交点.

14. 解析：利用已知条件可得
，

15. 解析：如下图, 设圆心到直线距离为
，因为圆的半径为
，

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本题满分12分)

解：解：由
可知，
是锐角，

所以，
………………………….2分

由正弦定理

………………. ………………………………………………………………………5分[来源:学#科#网Z#X#X#K]

(2)

………………………………………………8分

由余弦定理:

………………. ………………………………………………12分

17. (本题满分12分)

（1）由直方图可得：

.

所以
.……………………………2分

（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：

…………………………………4分

因为

所以
名新生中有
名学生可以申请住宿.………………6分

（3）
的可能取值为0，1，2. …………………………………7分

所以
的可能取值为
………………………………７分

所以
的分布列为：

0[来源:学|科|网]

1

2













………………………11分

………………………………12分

18.（本小题满分14分）

（1）矩形
中，
--------1分

平面
，
平面
,
平面
，-2分

同理
平面
,-------3分

又
u
平面
∥平面
------4分

（2）取
的中点
.

由于
面
,
∥
,

又
是菱形，

是矩形，所以，
是全等三角形，

所以
，
就是二面角
的平面角-------8分

解法1（几何方法）：

延长
到
，使
,由已知可得，
是平行四边形，又
矩形，所以
是平行四边形，
共面，由上证可知，
　
，
,
相交于
，
平面
，
为所求.

由
,
,得

等腰直角三角形
中，
,可得

直角三角形
中,

解法2几何方法）：由
，
，
得
平面
，欲求直线
与平面
所成的角，先求
与
所成的角. ------12分

连结
，设
则在
中，
，
，用余弦定理知

---14分

解法3（向量方法）：以
为原点，
为
轴、
为
轴

建立如图的直角坐标系，由
则
，

，平面
的法向量
， -------12分

.

---14分

19.（本小题满分14分）

解:(1)
……………………………………….1分

其判别式
，

因为
， 所以，
，对任意实数，
恒成立，

所以，
在
上是增函数……………………………………….4分

（2）当
时，由（1）可知，
在
上是增函数，所以
在
的最大值为
，由
，解得
（不符合，舍去）……………………………6分

当
时 ，
，方程
的两根为

，
，………………………………………8分

图象的对称轴

因为

（或

）, 所以

由
解得

①当
，
，因为
，所以
时，
,
在
是减函数，
在
的最大值
，由
，解得
（不符合，舍去）.………………………………….………………………12分

②当
，
，
，
，
在
是减函数， 当
时，
，

在
是增函数.所以
在
的最大值
或
，由

，

，解得
（不符合，舍去），
……………………14分

综上所述

20.（本小题满分14分）

解：（1）设数列
的公差为
，

由已知得
，
，
成等比数列，

∴

，且
……………………………2分

得
或

∵ 已知
为公差不为零

∴
， ……………………………3分

∴

. ……………………………4分

（2）由（1）知
∴

……………………………5分

而等比数列
的公比
.

∴
……………………………6分

因此

，

∵

∴
……………………………7分

∴

……………………………9分

∵当
时，

∴
（或用数学归纳法证明此不等式）

∴

……………………………11分

∴当
时，
，不等式成立；

当
时，

综上得不等式

成立.

……………………………14分

法二∵当
时，

∴
（或用数学归纳法证明此不等式）

∴

……………………………11分[来源:学科网ZXXK]

∴当
时，
，不等式成立；

当
时，
，不等式成立；

当
时，

综上得不等式

成立.

……………………………14分

(法三)　利用二项式定理或数学归纳法可得：

　　　所以，
时，
，

　　　

　　　
时，
　综上得不等式

成立.

20.（本小题满分14分）

解：（1）利用抛物线的定义得
，故线段
的中点的坐标为
，代入方程得
，解得
。 ……………………………2分

（2）由（1）得抛物线的方程为
，从而抛物线的准线方程为

……………………………3分

由
得方程
，

由直线与抛物线相切，得

……………………………4分

且
，从而
，即
， ……………………………5分

由
，解得
， ……………………………6分

∴
的中点
的坐标为

圆心
到
轴距离
，

∵

………………………………………8分

∵
，

∴ 当
时，
，圆
与
轴相切；

当
时，
，圆
与
轴相交；……………………9分

(或，以线段
为直径圆的方程为:

令

得
　

∴ 当
时，
，圆
与
轴相切；

当
时，
，圆
与
轴相交；……………………9分

（3）方法一：假设平面内存在定点
满足条件，由抛物线对称性知点
在
轴上，设点
坐标为
，…………………………
………………………………………………10分

由（2）知
，

∴
。

由
得，

所以
，即
或

…………………
…………13分

所以平面上存在定点
，使得圆
恒过点
.

……………………………14分

证法二：由（2）知
，
，
的中点
的坐标为

所以圆
的方程为

……………………………11分

整理得

……………………………12分

上式对任意
均成立，

当且仅当
，解得
……………………………13分