江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期

高三数学4月质量检测 2014.4.12

数学Ⅰ

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）

1.已知集合
，
.

2.复数
.

3.“
”是“
”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）

4.从
中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ．

5.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 .

6.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.

7.若正三棱锥的底面边长为
，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 .

8.在直角三角形
中，
，
，
，若
，则
．

9.已知
，
，则
．

10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为 ．

11.双曲线
右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为 ．

12.已知数列
为等差数列，首项
，公差
，若
成等比数列，且
，
，
，则数列
的通项公式
．

13.已知定义在R上的函数
满足：
，
，则方程
在区间
上的所有实根之和为 .

14.若关于x的不等式（组）
恒成立，则所有这样的解x构成的集合是____________.

二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）

15.（本小题满分14分）已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）在
中，若
的值.

16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，

AD∥BC，∠ADC＝
，BC＝
AD，PA＝PD，Q为AD的中点。

（1）求证：AD⊥平面PBQ；

（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。

(本小题满分14分）

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为
米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为
元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为
米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为
元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为
元．

（1）试写出
关于
的函数关系式，并写出定义域；

（2）当
米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．

18．（本小题满分16分）

已知，数列
有
（常数
），对任意的正整数
并有
满足
。

（1）求
的值；（2）试确定数列
是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令
，是否存在正整数M，使不等式
恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

19．（本小题满分16分）

在平面直角坐标，直线
：
经过椭圆
的一个焦点，且点(0,
)到直线l的距离为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
.当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“转点”.当
时，试问函数
是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.

江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期

高三数学4月质量检测 2014.4.12

数学Ⅱ（附加题）

1.求使等式
成立的矩阵M。

2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

3　集合
中任取三个元素构成子集

（1）求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；

（2）记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为
（如集合{3，4，5}中3和4相邻，
＝2），求随机变量
的分布列及其数学期望E（
）。

4、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；

(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

高三数学4月质量检测（答案）

2.
3.必要不充分 4.
5.48 6.

7、
8、
9、
10、 11、
12.

13.由题意知
函数
的周期为
，则函数
在区间
上的图象如下图所示：

由图形可知函数
在区间
上的交点为
，易知点
的横坐标为
，若设
的横坐标为
，则点
的横坐标为
，所以方程
在区间
上的所有实数根之和为
.

14.答案
，不等式等价于
，即

又
（均值不等式不成立）令
故

，所以
，

，（因为
最小值大于
，在
中，可以取等号），故
，解得
或
，所以答案为
.

15.解：（Ⅰ）因为

，

所以函数
的最小正周期为
………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

由已知，
，又角
为锐角，所以
，

由正弦定理，得
……………………………12分

16.证明：⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ(AD，

底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC

∴BCDQ为平行四边形，

由(ADC=900，∴(AQB=900，∴AD(BQ

由AD(PQ,AD(BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ(面PBQ

∴AD(平面PBQ ……………………7分

⑵连接CQ,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ为平行四边形，

∴N为AC中点，

由(PAC中，M、N为PC、AC中点， ∴MN//PA

由MN(面BMQ，PA(面BMQ ∴面BMQ‖PA ……………………14分

17．17．（1）设摩天轮上总共有
个座位，则
，即
，　　　……2分

， …………4分

定义域
． ……………………6分

（2）当
时，令
，………………………8分

，

则

，………………10分

∴
， ……………………………………12分

当
时，
，即
在
上单调减，

当
时，
，即
在
上单调增，

在
时取到，此时座位个数为
个．…………………………14分

18.解：（1）由已知，得
， ∴

（2）由
得
则
，

∴
，即
，

于是有
，并且有
，

∴
即
，

而
是正整数，则对任意
都有
，

∴数列
是等差数列，其通项公式是
。

（3）∵

∴

；

由
是正整数可得
，故存在最小的正整数M=3，使不等式
恒成立。

19．（本小题满分16分）

在平面直角坐标，直线
：
经过椭圆
的一个焦点，且点(0,
)到直线l的距离为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．

19.

20．（本小题满分16分）

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
.当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“转点”.当
时，试问函数
是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.

20.解：（I）当
时，

当
，当
，

所以函数
在
和
单调递增，在
单调递减，

所以当
时，函数
取到极大值为
，

当
时，函数
取到极小值为-2. …………（6分）

（II）当
时，由函数
在其图像上一点
处的切线方程，

得

设

且

…………（10分）

当
时，
在
上单调递减，

所以当
时，
；

当
时，
在
上单调递减，

所以当
时，
；

所以
在
不存在 “转点”. …………（13分）

当
时，
，即
在
上是增函数.

当
时，
当
时，
即点
为“转点”.

故函数
存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（16分）

附加题答案