广东省惠州市2014届高三4月模拟考试

数 学 试 题 (理科） 2014.04

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．

参考公式：①如果事件
互斥，则

②如果事件
相互独立，则

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设集合
=
,则集合
的子集的个数为（ ）

.

.

.

.

2.不等式
的解集为（ ）．

.

.

.

.

3．若抛物线
的焦点坐标为
，则
的值为（ ）

.

.

.

.

4．“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）

　
．充分不必要条件
．必要不充分条件

．充要条件
．既不充分也不必要条件

5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为

全等的等腰直角三角形，如果
直角三角形的直角边长为1，

那么这个几何体的体积为 ( )

.

.

.

.

6．程序框图的运算结果为 ( )

.

.

.

.

7.椭圆
与直线
交于
、
两点，过原点与

线段
中点的直线的斜率为
，则
值为（ ）

．

．

．

．

8.已知
满足
则

的最大值为( )

.

.

.

.

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．复数
（
为虚数单位）的虚部等于__________.

10．二项式
的展开式的常数项是__________.（用数字作答）

11. 已知变量
满足约束条件
, 则
的最大值是__________.

12．已知
为互相垂直的单位向量，
,
,且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值范围是 　　．

13. 已知数列
是正项等差数列，若
，则数列
也为等差数列. 类比上述结论，已知数列
是正项等比数列，若
= ，则数列{
}也为等比数列.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．

14．（极坐标与参数方程）若圆
的方程为：
（
为参数），以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆
的圆心极坐标为_________ ．(极角范围为
)

15．（几何证明选讲）如右图，
是圆
外一

点，过
引圆
的两条割线
、
，

=
=
，
=
，则
=____________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知函数

（1）求
的值；

（2）若
，且
，求
.

17．（本题满分12分）

在一个盒子中，放有标号分别为
，
，
的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为
、
，记
．

（1）求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

（2）求随机变量
的分布列和数学期望．

18．（本题满分14分）

如图，已知正三棱柱
—
的底面边长是
，
是侧棱
的中点，直线
与侧面
所成的角为
．

（1）求此正三棱柱的侧棱长；

（2）求二面角
的余弦值大小.

19．（本题满分
分）

设等比数列
的前
项和为
，已知
(
)

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．

求证：
(
).

20．(本题满分14分)

平面直角坐标系
中，直线
截以原点
为圆心的圆所得的弦长为

（1）求圆
的方程；

（2）若直线
与圆
切于第一象限，且与坐标轴交于
、
，当
长最小时，求直线
的方程；

（3）设
、
是圆
上任意两点，点
关于
轴的对称点为
，若直线
、
分别交于
轴于点（
）和（
），问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本题满分
分）

已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）如果关于x的方程
有实数根，求实数
的取值集合；

（3）是否存在正数
，使得关于x的方程
有两个不相等的实数根？如果存在，求
满足的条件；如果不存在，说明理由.

数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

B

A

D

B

B

A





1.【解析】集合
的子集有
、
、
、
.选D.

2.【解析】

得：
.选B.

3.【解析】
．选B.

4.【解析】当
时,函数可化为
,故周期
;反之，函数可化为
，若周期为
，则
.选A.

5.【解析】可知该几何体是三棱锥，底面面积为
，高为1，故
．选D．

6.【解析】当
时，
,选B．

7.【解析】设交点分别为

、

，代入椭圆方程：
，
由两式得：
，即，

，可化简为：
，即
.选B.

8.【解析】已知
满足
则
可化为

；要求
最大值，即求
的最值，由基本不等式可知

，

，当且仅当
取等号，即
或

时，
的最大值为
.选Ａ.

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．
10．
11．
12．

13．
14．
15．

9.【解析】

＝
，所以虚部等于
.

10．【解析】

=
，
=

，当
则
,常数项为


=
.

【解析】先画出可行域（如图），
是可行域内的点

与原点

连线的斜率，当直线
过点
时，
取得最大值
.

【解析】

=
，又
为锐角，

解得：
，
.

13. 【解析】由等差数列
的
的和，则等比数列
可类比为

﹒

的积；对
求算术平均值，所以对

﹒

求几何平均值，所以类比结果为
.

14.【解析】圆的圆心为
，

，又圆心在第一象限，故
.圆心的极坐标为
.

15.【解析】如右图，
是圆
外一点，过
引圆
的两条割线PAB、PCD，PA = AB =
由圆的割线定理
，即
,化简为

，解得:
或
（舍去）.

三．解答题

16．（本题满分12分）

本小题考查三角函数的化简与求值。

解（1）依题意得

16. （本题满分12分）

解：(1)


………………2分

(2)

…………4分

…………6分

………8分

…………10分

因为
，且
，所以
……11分

所以
………12分

17．（本题满分
分）

本小题考查利用离散型随机变量分布列的建立以及期望的求法.

解：（1）
、
可能的取值为
、
、
，

，
，

，且当
或
时，
． ……………3分

因此，随机变量
的最大值为
．

有放回抽两张卡片的所有情况有
种，

．

答：随机变量
的最大值为
，事件“
取得最大值”的概率为
． ………4分

（2）
的所有取值为
．

时，只有
这一种情况， ………5分

时，有
或
或
或
四种情况，

………6分

时，有
或
两种情况． ………7分

，
，
． …………10分

则随机变量
的分布列为：























 ………11分

因此，数学期望
．……………………12分

18．（本题满分
分）

本小题考查利用定义法（向量法）求空间几何中的角度问题。

解：（1）设正三棱柱
—
的侧棱长为
．取
中点
，连
．

是正三角形，
．………1分

又底面
侧面
，且交线为
．

侧面
．连
，则直线
与侧面
所成的角为
． ……………4分

在
中，
，解得
． ………5分

此正三棱柱的侧棱长为
． …………6分

（2）解法一：过
作
于
，连
，

侧面


．

为二面角
的平面角． ………9分

在
中，
，又

，

．

又

……11分

在
中，
． …………13分

故二面角
的余弦值得大小为
． ………14分

（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系
．

则
．…………8分

设

为平面
的法向量．

由
得

．

取
………10分

又平面
的一个法向量
…………11分

． ……12分

…………13分

结合图形可知，二面角
的余弦值大小为
．……14分

19．（本题满分
分）

本小题考查利用等比数列的定义及其通项公式求法、和项公式的应用，以及错位求和与放缩法求证数列不等式。

解：（1）设等比数列
的首项为
，公比为
，………………1分

，
（
）………………2分

=

即
(
)………3分

当
,得
，即
，解得：
……………4分

………5分

即
.………6分

（2）①
，则
，
………8分

………9分

设

① 则


②………10分

①-②得：

2+

=
+
=………12分

………13分

………14分

20．（本题满分
分）

本小题考查利用待定系数法直线与圆的方程，以及圆中定值问题的求解。

解：（1）因为
点到直线
的距离为
，…………………1分

所以圆
的半径为
，

故圆
的方程为
.……………2分

（2）设直线
的方程为
，即
，

由直线
与圆
相切，得
，即
， ……………4分

，

当且仅当
时取等号，此时直线
的方程为
．………6分

(3)设
，
，则
，
，
，

直线
与
轴交点
，
，

直线
与
轴交点
，
，………………10分

………………13分

故
为定值2． ………………14分

21．（本题满分
分）

本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。

解：（1）函数
的定义域是

对
求导得
…………2分

由
，由

因此
是函数
的增区间；

（－1，0）和（0，3）是函数
的减区间 ………………5分

（2）因为

所以实数m的取值范围就是函数
的值域 …………6分

对

令

∴当x=2时
取得最大值，且

又当x无限趋近于0时，
无限趋近于
无限趋近于0，

进而有
无限趋近于－∞.因此函数
的值域是
,即实数m的取值范围是
………………9分

（3）结论：这样的正数k不存在。 ………………10分

下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

有两个不相等的实数根
，则

…………11分

根据对数函数定义域知
都是正数。

又由（1）可知，当
时，

∴
=
，
=
，

再由k>0，可得

由于
不妨设
，

由①和②可得

利用比例性质得

即
…………13分

由于
上的恒正增函数，且

又
上的恒正减函数，且
∴

∴
，这与（*）式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在 ……………………14分