广东省惠州市2014届高三4月模拟考试

数 学 试 题（文科） 2014.04

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知向量
，则向量
的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．
是虚数单位，若
，则
等于（ ）

A．
　 　　　　 B．
　　　　　 C．
　　 　　D．

5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等

的等腰直角三角形，如果
直角三角形的直角边长为
，那么这

个几何体的体积为 ( )

A．
B．

C．
D．

6．用二分法求方程
的近似解，可以取的一个区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知椭圆
的长轴在
轴上，焦距为
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

9．已知
，则
等于（　　）

A．
B．
C．
D．

10．设命题
：函数
的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于
轴对称；

命题
：函数
在
上是增函数．则下列判断错误的是（ ）

A．
为假 B．
为真 C．
为假 D．
为真

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知点
满足
，则
的最小值是 ．

12. 程序框图（即算法流程图）如下图所示，其输出结果是 ．

13．设一直角三角形的两条直角边长均是区间
上

的任意实数，则斜边长小于
的概率为 ．

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系下，曲线

，曲线
.若曲线
有公共点，则实数
的取值范围是____________．

15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，
是圆

外一点，过
引圆
的两条割线

．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）

已知函数

（1）求
的值；

（2）若
，且
，求
.

17．（本小题满分12分）

某校高三（1）班共有
名学生，他们每天自主学习的时间全部在
分钟到
分钟之间，按他们学习时间的长短分
个组统计,得到如下频率分布表：

组别

分组

频数

频率



第一组









第二组









第三组









第四组









第五组









 （1）求分布表中
，
的值；

（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这
名学生中抽取
名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？

18．（本小题满分14分）

如图1，在直角梯形
中，
，
，且
．

现以
为一边向梯形外作正方形
，然后沿边
将正方形
翻折，使平面
与平面
垂直，
为
的中点，如图2．

（1）求证：
∥平面
;

（2）求证：
;

（3）求点
到平面
的距离.

19.（本小题满分14分）

已知正项数列
中，
，前n项和为

，当
时，有
.（1）求数列
的通项公式；

（2）记
是数列
的前
项和，若
的等比中项，求
.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点
为曲线
:
上任一点（
点不同于
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
的位置关系，并证明你的结论．

21.（本小题满分14分）

已知函数

(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；

(2)求
的单调区间；

(3）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围.

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文科数学答案 2014.04

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

B

D

C

A

A

C

D





1．【解析】选A，

2．【解析】选D，
.

3．【解析】选B，
.

4.【解析】选B，

5.【解析】选D, 由三视图还原几何体可知
.

6.【解析】选C， 设
，

当连续函数

7.【解析】选A，

8.【解析】选A，有面面平行的性质可知A正确.

9.【解析】选C,相邻两项依次结合可得：

10. 【解析】选D ，

二．填空题

11.
12.
13.

14.
（ 或
） 15.

11.【解析】

12.【解析】连续递推可得

13.【解析】设两条直角边长为
，

14.【解析】化为普通方程后，圆心到直线的距离小于或等于圆的半径（
），解不等式即可.

15.【解析】由割线定理可得

三．解答题

16. （本小题满分12分）

解：(1)
…………………2分

(2)
…………4分

……………………6分

……………………8分

…………10分

因为
，且
，所以
………11分

所以
………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）
，
． …………4分

（2）设应抽取
名第一组的学生，则

得
．

故应抽取2名第一组的学生． …………6分

（3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为
，2名女生为
．

按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有
种结果，列举如下：

． ……………9分

其中既有男生又有女生被抽中的有
这4种结果， ……10分

所以既有男生又有女生被抽中的概率为
. …………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取
中点
，连结
．

在△
中，
分别为
的中点，

所以
∥
，且
．

由已知
∥
，
，

所以
∥
，且
． …………………………3分

所以四边形
为平行四边形．

所以
∥
． …………………………4分

又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
． ………………………5分

（2）在正方形
中，
．

又因为平面

平面
，且平面
平面
，

所以
平面
．

所以
． ………………………7分

在直角梯形
中，
，
，可得
．

在△
中，
，

所以
．

所以
． …………………………8分

所以
平面
． …………………………10分

（3）解法一：因为
平面
， 所以平面
平面
． …………11分

过点
作
的垂线交
于点
，则
平面

所以点
到平面
的距离等于线段
的长度 ………………………12分 在直角三角形
中，

所以

所以点
到平面
的距离等于
. ………………………14分

解法二：
平面
,所以

所以

………………………12分

又
，设点
到平面
的距离为

则

，所以

所以点
到平面
的距离等于
. ………………………14分

19. （本小题满分14分）

解析： （1）

……………1分

， ……………2分

…………………………………………3分

………………………………………4分

……………6分

（2）

…………………………………7分

…………………………………9分

……………11分

……………………………………13分

………………………………………14分

20.（本小题满分14分）

解析：（1）由题意可得
，
， ∴
…………2分

∴
， …………………3分

所以椭圆的方程为
． …………………4分

（2）曲线
是以
为圆心，半径为2的圆。

设
，点
的坐标为
，…………………5分

∵
三点共线， ∴
，…………………6分

而
，
，则
，

∴
， ………………………………………8分

∴点
的坐标为
，点
的坐标为
， …………………10分

∴直线
的斜率为
，

而
，∴
，

∴
， …………………12分

∴直线
的方程为
，化简得
，

∴圆心
到直线
的距离
，…………………13分

所以直线
与曲线
相切． ……………………………14分

21．（本小题满分14分）

解：(1)由已知
， …………………………1分

，所以斜率
， …………………………2分

又切点
，所以切线方程为
)，即

故曲线
在
处切线的切线方程为
。 ………………3分

(2)
………………4分

①当
时，由于
，故
，
，所以
的单调递增区间为
.

………………………………5分

②当
时，由
，得
. ……………………6分

在区间
上，
，在区间
上，
，

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. …………7分

（3）由已知，转化为
. ………………8分

，所以
………………9分

由(2)知，当
时，
在
上单调递增，值域为
，故不符合题意.

(或者举出反例：存在
，故不符合题意.) ………………10分

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，
， ………12分

所以
， 解得
. …………14分