马鞍山市2014届第二次教学质量检测

高三理科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

（1）设
（
是虚数单位），则
等于(▲)

A．
B．
C．
D．

命题意图:考查共轭复数及复数的运算，容易题。

答案:D

（2）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)

A．
B．

C．
D．

命题意图:考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力。容易题。

答案:A

解析:

（3）
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 (▲)

A．－20 B．－10 C．10 D．20

命题意图:考查二项式定理的应用，容易题。

答案：C

（4）某程序框图如图所示，若输出的
，则判断框内的条件为(▲)

A．
B．
C．
D．

命题意图:考查程序框图，容易题。

答案：A

（5）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
等于(▲)

A．1 B．－1 C．2 D.

命题意图:考查等差数列性质及运算，容易题。

答案： A

（6）函数
的最大值为(▲)

A．
B．
C．
D．

命题意图:考查三角函数性质与运算，容易题。

答案： A

（7）以下判断正确的是（ ）

A．函数
为
上的可导函数，则“
”是“
为函数
极值点”的充要条件

B．“
”是“直线
与直线
平行”的充要条件

C．命题“在
中，若
”的逆命题为假命题

D．命题“
”的否定是“
”

命题意图:考查简易逻辑基本概念，容易题。

答案：B

（8）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件
表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件
发生的概率为(▲)

A．
B．
C．
D．

命题意图:考查排列组合、概率，中档题。

答案： B

（9）已知
，定义域为
，任意
，点
组成的图形为正方形，则实数
的值为(▲)

A．
B．
C．
D．

命题意图:考查函数定义域,值域及最值，考查理解能力，较难题。

答案：D

（10）定义域为
的函数
，满足
，
，则不等式
的解集为(▲)

A.
B.
C.
D.

命题意图:考查运用导数解决问题的能力，较难题。

答案：D

解答：构造函数

由已知

，故
在R上为减函数，而

不等式
化为
，故选D

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）在极坐标系中，曲线
和
相交于点
、
，则
▲ ．

命题意图:考查极坐标的基础知识，容易题。

答案：

（12）若双曲线
与抛物线
有相同焦点，则实数
的值为 ▲ ．

命题意图:考查圆锥曲线基本量计算，容易题。

答案：

（13）若三角形的三个内角的弧度数分别为
，则
的最小值为 ▲ ．

命题意图:考查基本不等式，容易题。

答案：

(14) 已知
，
，且
不共线，则向量
与
的夹角
的取值范围为 ▲ ．

命题意图:考查平面向量概念及运算，数形结合思想等，中档题。

答案：

（15）如图，四面体
中，
两两垂直，且

. 给出下列命题：

①存在点
（点
除外），使得四面体
仅有3个面是直角三角形；

②存在点
，使得四面体
的4个面都是直角三角形；

③存在唯一的点
，使得四面体
是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；

④存在唯一的点
，使得四面体
与四面体
的体积相等；

⑤存在无数个点
，使得
与
垂直且相等.

其中正确命题的序号是 ▲ ．（把你认为正确命题的序号都填上）

命题意图：综合考查空间几何体的概念、线面关系，等价转化的思想，较难题．

答案：①②⑤

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分12分）在
中，
的对边分别是
，已知平面向量
，
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（2）若
，求边
的值．

命题意图:综合考查平面向量数量积，三角恒等变形等知识，容易题。

解析：（1）由题意，
，

得

由于
中，
，∴
，
，
，∴
.…………6分

（Ⅱ）由
得
，

即
，∴
.

得
，∵
，
，

∴
，所以
为正三角形，
…………………………………………………………12分

（17）（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。根据国家标准，指数在0-50之间时，空气质量为优；在51-100之间时，空气质量为良；在101-150之间时，空气质量为轻度污染；在151-200之间时，空气质量为中度污染；在大于200时，空气质量为重度污染。环保部门对某市5月1日至5月15日空气质量指数预报如下表:

日 期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



空气质量指数

75

56

26

156

230

163

88

210

206

201

78

98

105

97

93



某人选择5月1日至5月13日某一天到达该市，并停留三天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设
是此人停留期间空气质量优良的天数，求随机变量
的分布列及数学期望；

（Ⅲ）根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（不要求计算，只写出结果）.

命题意图: 考查概率统计的基本运算及随机变量分布列，中档题。

解析：（Ⅰ）记事件
为此人到达当日空气重度污染，则由表中数据可得
…………2分

（Ⅱ）此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表：

到达日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13



空气质量优良天数

3

2

1

0

1

1

1

0

1

2

2

2

2





所以随机变量
的概率分布如下：

X

0

1

2

3



P













所以
……………………………………………………10分

（Ⅲ）从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大. ………………………………12分

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，平面
平面
，
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）
是侧棱
上一点，记
，当
平面
时，求实数
的值.

命题意图:综合考查立体几何有关知识，考查运算能力.中档题。

解析：（Ⅰ）在
中，∵
，
，
，∴由余弦定理求得
.∴
，∴
.∵平面
平面
,交线为
，

∴
平面
，∴
.……………………………………………………6分

（Ⅱ）作
，交
于点
，连接
，由
可知
四点共面，连接
，所以由（Ⅰ）的结论可知，
平面
当且仅当
.

在
中，由
，
，
，及余弦定理求

得
，∴在
中，
，

因此
.…………………………………………12分

（19）（本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ)若
,求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数
的单调性.

命题意图: 综合考查导数的应用，分类讨论思想，中档题。

解析：(Ⅰ)当
时,函数
,

函数的定义域为
,且
………………………………………………………2分

,

所以曲线
在点
处的切线方程为
………………………………………4分

(Ⅱ) 函数的定义域为
,且

(1)当
时,
在
时恒成立, …………………………………………………6分

在
上单调递增.

(2) 当
时，

①当
时，
在
时恒成立

在
上单调递减…………………………………………………………………………8分

②当
时，由
得

且
………………………………9分