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山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（四）

理科数学

满分150分 考试用时120分钟

参考公式：山东中学联盟

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；

如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概 率：

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集为实数集，集合=
= （ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
在复平面上对应的点的坐标是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．设随机变量X～N （3，1），若P（X＞4）=p，则P（2＜X＜4）= （ ）

A．
+p B．1—p C．1—2p D．
—p

4．设
，下列向量中，与向量Q=（1，-1）一定不平行的向量是 （ ）

A．b=（，） B．c=（-，-）

C．d=（
+1，
+1） D．e=（
一l，
—1）

5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是 m2 （ ）

A．
B．
C．
D．

正视图 侧视图 俯视图

6．设函数
的图像关于直线
对称，它的周期是，则 （ ）

A．
的图象过点

B．
在
上是减函数

C．
的一个对称中心是

D．将
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象．

7．双曲线
的离心率为2，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．2 D．

8．在
中，是
边中点，角，，的对边分别是，，，若
，则
的形状为 （ ）

A．等边三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形

9．已知圆
的圆心为抛物线
的焦点，且与直线
相切，则该圆的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为“关联区间”．若
与
在
上是“关联函数”，则的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若函数
=
的图像关于直线
对称，则
的最大值是 ．

12．设
，则
的大小关系是________．

13．若点
在直线
上，则
___________．

14．记不等式组
所表示的平面区域为，若直线
与公共点，则的取值范围是 ．

15．在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意
，具有性质：

①
；②
；③
，

则函数
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知锐角
中内角、、
的对边分别为、
、，
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）设函数
，
图象上相邻两最高点间的距离为，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

某车间共有
名工人，随机抽取
名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；

（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间
名工人中有几名优秀工人；

（Ⅲ）从该车间
名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，正方形
与梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
，
，点
在线段
上．

（Ⅰ）当点
为
中点时，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）当平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分12分）

已知：数列
的前项和为
，且满足
，
．

（Ⅰ）求：
，
的值；

（Ⅱ）求：数列
的通项公式；

（Ⅲ）若数列
的前项和为
，且满足

，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分13分）

已知圆
:
，圆:
，动圆与
外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）是与圆，圆
都相切的一条直线，
与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若a=-1，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t [1，2]，函数
是
的导函数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：
。

山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷参考答案

理科数学（四）

一、选择题：1-5、DDCCA 6-10、CAABB

二、填空题：11、16 12、a>b>c 13、－2 14、
15、3

三、解答题：

16、解：（I）因为
，由余弦定理知

所以
，又因为
，则由正弦定理得:
，

所以
，所以
。

（Ⅱ）
，

由已知
，则

因为
，
，由于
，所以
，

所以
根据正弦函数图象，所以
。

17、解:(1)由题意可知,样本均值

(2)样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名,

可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为:

(3)从该车间12名工人中,任取2人有
种方法,

而恰有1名优秀工人有

所求的概率为:

18、解：（1）以直线
、
、
分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则
，

，
，所以
．∴
．

又
是平面
的一个法向量． ∵
即
，

∴
∥平面
．

（2）设
，则
，又

设
，则，
即
．

设
是平面
的一个法向量，则

，
，

取
得
， 即

又由题设，
是平面
的一个法向量，

∴
．

即点
为
中点，此时，
，
为三棱锥
的高，

∴

．

19．解：（Ⅰ）
，令
，解得
；令
，解得
，

（Ⅱ）
， 所以
，（
），

两式相减得
，

所以
，（
），又因为
，

所以数列
是首项为，公比为的等比数列。

所以
，即通项公式
（
）。

（Ⅲ）
，所以

所以

，

令
①

②

①－②得

，
。

所以
。

20．解：由已知得圆
的圆心为
(-1,0),半径
=1,圆
的圆心为
(1,0),半径
=3.

设动圆的圆心为 (,),半径为R.

(Ⅰ)∵圆与圆
外切且与圆
内切,∴|PM|+|PN|=
=
=4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
.

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 (,),由于|PM|-|PN|=
≤2,∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为
,

当
的倾斜角为
时,则
与轴重合,可得|AB|=
.

当
的倾斜角不为
时,由
≠R知
不平行轴,设
与轴的交点为Q,则
=
,可求得Q(-4,0),∴设
:
,由
于圆M相切得
,解得
.

当=
时,将
代入
并整理得
,解得
=
,∴|AB|=
=
.

当
=-
时,由图形的对称性可知|AB|=
,

综上,|AB|=
或|AB|=
.

21、解：（Ⅰ）当
时，
， 解
得
；

解
得

的单调增区间为
，减区间为
.

（Ⅱ） ∵
∴
得
，

，∴

∵
在区间
上总不是单调函数，且
∴
，由题意知：对于任意的
，
恒成立，所以，
，∴
.

（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知当
时
，即
，

∴
对一切
成立．

∵
，则有
，∴
.

.