2014年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三文科数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

1．设全集
，集合
，集合
．则下图中的阴影部分表示的集合为（▲）

A．
B．

C．
D．

答案：B

命题意图：本题考查集合的基本运算，简单题．

2．设
是虚数单位，则复数
=（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：C

命题意图：本题考查复数的基本运算，简单题．

3．“
”是“
”的（▲）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

命题意图：本题考查简易逻辑，简单题．

4．执行如下图所示的程序框图，若输入
的值分别为
和
,则输出
（▲）

A．0 B．1 C．2 D．

答案：C

命题意图：本题考查程序框图，简单题．

5．若双曲线
与抛物线
有相同的焦点，则
的值为（▲）

A．4 B．
C．2 D．

答案：B

命题意图：本题考查双曲线的定义及计算，简单题．

6. 设
，且
，则
有 （▲）

A．最大值27 B．最小值27 C．最大值54 D．最小值54

答案：D

命题意图：本题考查基本不等式应用，指数函数的性质，简单题．

7. 下列命题中错误的是（▲）

A. 如果平面
⊥平面
，平面
⊥平面
，
，那么

B. 如果平面
⊥平面
，那么平面
内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面
不垂直于平面
，那么平面
内一定不存在直线垂直于平面

D. 如果平面
⊥平面
，
，过
内任意一点作
的垂线
，则

答案：D

命题意图：本题考查空间线面位置关系，简单题．

8. 函数
的图象向左平移
后所得的图象关于
轴对称，则
的值可能是（▲）

A.
B．
C．
D．

答案：A

命题意图：本题考查三角函数图形变换，简单题．

9．在△ABC中，已知向量
与
满足
，且
，则△ABC为（▲）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形

答案：A

命题意图：本题考查向量的数量积运算及应用，中等题．

10．已知定义在R上的奇函数
，其导函数为
，当
时，恒有
.若
，则满足
的实数
的取值范围是（▲）

A．
B．
C．
D．

答案：B

命题意图：本题考查导数的应用，函数的性质，较难题．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

11．已知函数
满足：
，且当
，

则
▲ ．

答案：４

命题意图：本题考查函数的周期性，简单题．

12．为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：

理科

文科



男

13

10



女

7

20



已知
，
.

根据表中数据，得到
.

则认为选修文科与性别有关系的可能性不低于 ▲ ．

答案：95%.解析　∵
，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，选修文科与性别有关系的可能性不低于95%.

命题意图：本题考查独立性检验，列联表，简单题．

13．若实数
满足
且
的最小值为4，则实数
的值为 ▲ ．

答案：3

命题意图：本题主要考查线性规划，中等题．

提示：当
过
与
的交点时，
取得最小值．即
、
、
共点．

14．将全体正整数按右图规律排成一个三角形数阵，若数2014在图中第
行从左往右数的第
位．则
为 ▲ ．

答案：

命题意图：本题考查等差数列，规律探求．中等题．

15．如果三棱锥
的底面
是正三角形，顶点
在底面
上的射影是△
的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：

① 正三棱锥所有棱长都相等；

② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱
与
）不垂直；

③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；

④ 若正三棱锥所有棱长均为
，则该棱锥外接球的表面积等于
．

⑤ 若正三棱锥
的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为
，过点
的平面分别交侧棱
，
于
．则△
周长的最小值等于
．

以上结论正确的是 ▲ （写出所有正确命题的序号）．

答案：③，④，⑤

命题意图：本题综合考查空间线面关系，类比、转化思想，较难题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域答题．

16． (本小题满分12分)

已知向量
，
，函数
2(
＋
)·
．

(Ⅰ) 求函数
的最小正周期；

(Ⅱ) 在
中，角
的对边分别为
，且
，
．

求
外接圆的半径．

命题意图：本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题.

【解析】

(Ⅰ)
2(
+
)·

………………………………………………………4分

………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，又

∴

又∵A是△ABC的内角，

∴

…………………………………………………8分

由余弦定理：

…………………………………………………………………10分

由正弦定理
………………………12分

17．（本小题满分12分）

为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：

月工资

（单位：百元）

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75)



男员工数

1

8

10

6

4

4



女员工数

4

2

5

4

1

1





(Ⅰ) 完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；

(Ⅱ) 试由上图估计该单位员工月平均工资；

(Ⅲ) 若从月工资在
和
两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．

命题意图：本题考查频率分布直方图、样本特征数、古典概型，简单题．

【解析】

(Ⅰ)如图（4分）

(Ⅱ)

即该单位员工月平均工资估计为4300元.…………………………………………8分

(Ⅲ)由上表可知：月工资在
组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在
组的有四名女工，分别记作A,B,C,D.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：

（甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D），

（乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D），

（A，B），（A，C），（A，D），

（B，C），（B，D），

（C，D）

其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，

∴所求概率为
……………………………………………………………………12分

18． (本小题满分12分)

如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD，CDEF都是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG=1．

（Ⅰ）若P是BC的中点，证明AP∥平面BFG；

（Ⅱ）求四面体ABEG的体积．

命题意图：本题综合考查空间线、面的位置关系，体积的计算，中等题．

【解析】

（Ⅰ）取BF中点Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ=
CF=AG=1，

∵CDEF是正方形，DE⊥平面ABCD，

∴ CF⊥平面ABCD，

∴PQ⊥平面ABCD，

又AG⊥平面ABCD，

∴PQ∥AG，APQG为矩形，

∴AP∥GQ

∵QG
平面BFG，AP
平面BFG，

∴AP∥平面BFG………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，

又ABCD是矩形，∴AB⊥AD

从而AD⊥平面ABG

又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE

∴
…………………………12分

19．(本小题满分13分)

已知数列
的前
项和为
，
，且
，
.

(Ⅰ) 当实数
为何值时，数列
是等比数列？

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下，设
，数列
的前
项和
，证明
．

命题意图：本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，错项相减、不等式证明等，中等题．

【解析】

(Ⅰ)方法1：由题意得

两式相减得
……………………………2分

所以当
时，
是以3为公比的等比数列．

要使
时，
是等比数列，则只需
……………………4分

方法2：由题意，
，
，

要使
为等比数列，则有：

解得
或
（
时，
，不合题意，舍去）

时，
，
，
符合题意．

所以
………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
，
…………………………………………6分

………………………………………………………………7分

①

②

-②得
…………………………9分

…………………………………………………11分

故
．. …………………………………………………13分

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
，
,短轴的两个端点分别为
；且
为等腰直角三角形.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 若直线
与椭圆
交于点
，且
，试证明直线
与圆
相切.

命题意图：本题考查椭圆的方程与性质、直线与二次曲线的位置关系，较难题．

【解析】

(Ⅰ)设椭圆
的方程为
.

根据题意知
, 解得