江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷（四）

命题人：南昌市外国语学校 审题人：南昌市教研室

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(理)．下面是关于复数
的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为

A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4

(文)．设全集
，集合
=｛
｝，
=

，则“

”是“

”的

A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要

2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝．

A．
B．
C．
D．

3．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

4．（理）设
的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为．

A． 150 B．－150 C．300 D．－300

(文) 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为．

A. 　　B. C．4 　　 D．8

5．（理）函数
满足
，其导函数
的图象如图所示，则
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

A. B. C．2 D.

（文）已知函数
＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，

则实数a的取值范围是．

A．(－1，2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

6．阅读如图所示的算法框图，输出的s值为 ．

A．0 B．1＋ C．1＋ D.－1

7．定义在R上的奇函数
满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝，

又g(x)＝cos ，则集合{x|f(x)＝g(x)}等于．

A.
B.

C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D.

8．一个正方体的展开图如图所示，A,B,C,D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中

A．AB∥CD B．AB与CD相交

C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°

9．若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5＝＋3,则△ABM与△ABC的面积比为

A. B. C. D.

10.如图，已知线段
，当点
在以原点
为圆心的单位圆上运动时，点
在
轴上滑动，设
，记
为点
的横坐标关于
的函数，

则
在
上的图像大致是

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)

11．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________．

12．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

13．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

14．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．

15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）

(1)．在极坐标系中，点
到曲线
上的点的距离的最小值为____．

(2)．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是____．

15(文). 已知函数
，
，则下列结论中，①两函数的图像均关于点（
，0）成中心对称；②两函数的图像均关于直线
成轴对称；③两函数在区间（
，
）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同.正确的序号是_____.

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）

（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）?g（x），

求函数h（x）的单调递增区间．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点

P（bn，bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）求数列{an?bn}的前n项和Dn；

（3）设
（
），求数列{cn}的前2n项和T2n．

18. （本小题满分12分）

（理）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时,ξ＝0 ；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ．

(文)．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计



甲班

10







乙班



30





合计





105



已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．

（参考公式：
，）

19．（本小题满分12分）

（理）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方

形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．

（1）证明PA∥平面BDE；

（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明

你的结论．

(文)．如图(a)所示，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC的中点，沿DE将△ADE折起，使AD⊥DB，连接AB，AC，得到如图(b)所示的四棱锥ABCED.

(1)求证：AC⊥平面ABD；

(2)求四棱锥ABCED的体积．

20．（本小题满分13分）

已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．

(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．

21. （本小题满分14分）

（理）设函数
，
．

（1）讨论函数
的单调性；

（2）如果存在
,使得
成立,求
的最大整数；

（3）如果对任意的
，都有
成立，求实数a的取值范围．

(文)．已知函数
满足

（1）求
的值以及
的单调区间；

（2）令
，若
在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

B

A

B

B

B

D

C

B



二、填空题：每小题5分，共25分．

11．或
； 12．2； 13．(－∞，0)； 14． 15．（理）
；

（文）

三、解答题：（本大题共6小题共75分）

16、解：（1）∵
，∴
，∴
．

∵点（
，2）在图象上，∴2sin（3×
+
）=2，即sin（φ+
）=1，∴φ+
=2kπ+
（k∈Z），即
=2kπ+
．

故
．

（2）

=sin（6x+
）+
．

由2kπ
≤6x+
≤2kπ
（k∈Z）得

函数
的单调递增区间为
（k∈Z）．

17、解：（1）当n=1，a1=2,当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1∴an=2an﹣1（n≥2），

∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1=2, ∴

又点
在直线y=x+2上，∴bn+1=bn+2，∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，∴bn=2n﹣1

（3）∵

∴
①

②

①﹣②得

所以，

（3）

T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）－（b2+b4+…b2n）

18、（理）(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，

所以随机变量ξ的分布列是

ξ

0

1





P









因此Eξ＝1×＋×＝.

（文）解　(1)

优秀

非优秀

总计



甲班

10

45

55



乙班

20

30

50



合计

30

75

105



(2)根据列联表中的数据，得到

k＝≈6.109＞3.841，

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．

(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．

事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝＝.

19、（理）解：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=CD=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

所以
=（2，0，﹣2），
=（0，1，1），
=（2，2，0）．

设
=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，

则由
，得
；取=﹣1，则
=（1，﹣1，1），

∵
?
=2﹣2=0，∴
⊥
，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．

（2）由（1）知
=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又
=
=（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．

设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由图可知θ=＜
，
＞，

∴cosθ=cos＜
，
＞=
=
=
，故二面角B﹣DE﹣C余弦值为
．

（3）∵
=（2，2，﹣2），
=（0，1，1），∴
?
=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设
=λ
（0＜λ＜1），

则
=（2λ，2λ，﹣2λ），
=
+
=（2λ，2λ，2﹣2λ），

由
?
=0得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴λ=
∈（0，1），此时PF=
PB，

即在棱PB上存在点F，PF=
PB，使得PB⊥平面DEF．

（文）(1)证明　连接DC，在等边△ABC中，有BD⊥CD，而BD⊥AD，AD∩DC＝D，所以BD⊥平面ADC.又AC?平面ADC，所以BD⊥AC.在△ADB中，AD＝DB＝1，∠ADB＝90°，则AB＝.由对称性，知AC＝.在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝2，则AB⊥AC.又BD∩AB＝B，所以AC⊥平面ABD.

(2)解　在梯形BCED中，易知S△CDE∶S△BCD＝1∶2，所以VABCD＝2VADCE.所以VABCED＝VABCD.又VABCD＝VCADB＝×·AD·DB·AC＝××＝，所以VABCED＝×＝.

20、(1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，

∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(x＋)(x－)＋y·y＝0.化简得＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1.

(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ①

(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，

从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.

则－＝－，即2m＝3k2＋1， ②

将②代入①得2m>m2，解得00，解得m>，

故所求的m的取值范围是.

(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1

综上，当k≠0时，m的取值范围是，当k＝0时，m的取值范围是(－1,1).

21、（理）解：（1）
，
，

①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增

②a＞0，
，
，函数h（x）的单调递增区间为
，

，
，函数h（x）的单调递减区间为

（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，考察g（x）=x3﹣x2﹣3，
，

x

0







2





0

﹣

0

+





g（x）

﹣3

递减

极（最）小值

递增

1



由上表可知：
，
，

∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=
，所以满足条件的最大整数M=4；

（3）当
时，
恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，

记h（x）=x﹣x2lnx，所以a≥hmax（x），又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0．

记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，
，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0

即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间
上递增，记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，

x∈（1，2]，1﹣x＜0,xlnx＞0，h'（x）＜0, 即函数
=x﹣x2lnx在区间（1，2]上递减,∴x=1,
取到极大值也是最大值
=1. ∴a≥1

（文）解：由于f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+
，则f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，

令x=1得，f（0）=1，则f（x）=f′（1）ex﹣1﹣x+
，∴f（0）=f′（1）e﹣1 则f′（1）=e，得到f（x）=ex﹣x+
，则g（x）=f′（x）=ex﹣1+x，g′（x）=ex+1＞0，所以y=g（x）在x∈R上单调递增，则f′（x）＞0=f′（0）?x＞0，f′（x）＜0=f′（0）?x＜0，所以f（x）=ex﹣x+
的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．

（2）由（1）知，h（x）=f（x）﹣x3﹣
﹣ex=﹣x3+
﹣x，

∴h’（x）=﹣3x2+（1﹣a）x﹣1≥0对x∈（1，3）恒成立，

（1﹣a）x≥3x2+1，∵x∈（1，3），∴1﹣a≥
令φ（x）=
，
，∴1﹣a≥
，∴