湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考

数学理试题

考试时间：120分钟 满分：150分

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、若集合
，
，则集合
等于（ D ）

A.
B.
C.

D.

2、复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ A ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、若向量
，
，则
等于（ B ）

A.
B.

C.

D.

4、若
，且
，则
等于（A ）

A.
B.

C.
D.

5、已知命题
R，

R，
给出下列结论：

①命题“
”是真命题 ②命题“
”是假命题

③命题“
”是真命题 ④命题“
”是假命题

其中正确的是（ B ）

A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③

6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）

A.
种 B.
种

C.
种
D.
种

7、设F1，F2是椭圆
的两个焦点，P是椭圆上的点，且
，则
的面积为 （ D ）

A．4 B．
C．
D． 6

8、若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）

A．10 B．20 C．30 D．120

9、数列
满足
，则
的整数部分是（ ）B

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10、在平面直角坐标系中，

则
所表示的区域的面积为（ ）D

A．6 B．
C．
D．

二．填空题：共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11、 如图，
的两条弦
，
相交于圆内一点
，若
，
，则该圆的半径长为 ?．

答案：

12、曲线
：
（
为参数）上的点到曲线
：
（
为参数）上的点的最短离为 ．

答案：1

13、设
，且
，则
的最小值为

答案：16

14、计算
的结果是

答案：

15、已知
是函数
图像上的点，
是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点
作直线，使其与双曲线
只有一个公共点，且与
轴、
轴分别交于点
，另一条直线
与
轴、
轴分别交于点
。

则（1）
为坐标原点，三角形
的面积为

（2）四边形
面积的最小值为

答案：（1）12 （2）48

16、已知数列
共有9项，其中，
，且对每个
，均有
。

（1）记
，则
的最小值为

（2）数列
的个数为

答案：（1）6；（2）491

解析：令
，则对每个符合条件的数列
，满足条件：

，且

反之，由符合上述条件的八项数列
可唯一确定一个符合题设条件的九项数列
。

记符合条件的数列
的个数为
，显然，
中有
个
，
个
，
个
，且
的所有可能取值为
。

（1）对于三种情况，易知当
时，
取到最小值
；

（2）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分12分）

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出
名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
，…，
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ) 求第四小组的频率；

(Ⅱ) 从成绩是
分以上（包括
分）的学生中选两人，求这两人的成绩在
内的人数的分布列及期望.

【解】（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

．…………………………….4分

(Ⅱ)设人数为
，

x

0

1

2



P









Ex=
． ……………………………12分

18. (本小题满分12分)

已知函数
的最小正周期为
,当
时，函数
的最小值为0.

(Ⅰ)求函数
的表达式；

(Ⅱ)在
中，若
的值.

【解】 （Ⅰ）
……2分

依题意函数

所以
…………4分

（Ⅱ）

19、（本题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，且
。

（Ⅰ）求证：
平面
； 　

（Ⅱ）若
为线段
的中点，
为
中点.求点
到平面
的距离.

19．（Ⅰ）证明：∵底面
为正方形，

∴
，又
，

∴
平面
，

∴
. ………………3分

同理
， ………………5分

∴
平面
． ………………6分

（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系
，

则


.

∵
为
中点，

∴

同理，

设

为平面
的一个法向量，

则

，

．

又
，

令
则
.

得

． …………10分

又

∴点
到平面
的距离
. …………12分

20、（本题满分13分）

容器
内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器
内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将
内的盐水倒1升进入
内，再将
内的盐水倒1升进入
内，称为一次操作；这样反复操作
次，
容器内的盐水的质量分数分别为
，

（I）问至少操作多少次，
两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）

（Ⅱ）求
的表达式。

解：（1）
；……… 2分

；………………… 4分

的等比数列，

，

，故至少操作7次； ………………… 7分

（2）
…… 9分

………… 11分

而
………………… 13分

21、（本题满分13分）

设直线
与椭圆
相交于
两个不同的点，与
轴相交于点
，记
为坐标原点.

（I）证明：
；

（Ⅱ）若
的面积取得最大值时的椭圆方程．

【解】（1）证明：由
得

将
代入
消去
得

① ………………………… 3分

由直线l与椭圆相交于两个不同的点得

整理得
，即
………5分

（2）解：设
由①，得

∵
而点
, ∴

得
代入上式，得
……………8分

于是，△OAB的面积

--------10分

其中，上式取等号的条件是
即
……………………11分

由
可得

将
及
这两组值分别代入①，均可解出

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
--------------13分

22、（本题满分13分）

已知函数

（I）若
时，函数
在其定义域上是增函数，求
的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数
，求函数
的最小值；

（III）设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
，过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
于点
，问是否存在点
，使
在
处的切线与
在
处的切线平行？若存在，求出
的横坐标；若不存在，请说明理由.

解：（I）依题意：

在（0,+
）上是增函数，

对x∈（0,+
）恒成立， …………2分

…………4分

（II）设

当t=1时，ym I n=b+1； …………6分

当t=2时，ym I n=4+2b …………8分

当
的最小值为
…………8分

（III）设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为
…………9分

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

……………10分

设
……………… ① …………11分

这与①矛盾，假设不成立.

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. …………13分