湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考数学文试题

(时量：120分钟 满分：150分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.

1.全集
，
，
，则
为 (　A　)

A．
B．
C．
D．

2.复数
化简的结果为　A

A.
B.
C.
D.

3.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是　B

A．45

B．50

C．55

D．60

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，

则输出s的值是　C

A．4

B．7

C．11

D．16

5.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为
，则该几何体的俯视图可以是（ C ）

A. B． C. D．

6.“
”是“直线
与圆
相切”的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7.已知
是单位圆上的动点,且
,单位圆的圆心为
,则
（　C　）

A．
B．
C．
D．

8.已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 （ B ）

A．
B．
C．
D．

9.某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ A）年后需要更新设备.

A. 10 B. 11 C. 13 D. 21

10.对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总 有 |1－
|≤
， 则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)=
x∈[4，16]的是( D )

A. g(x)=2x+6 x∈[4，16] B. g(x)=x2+9 x∈[4，16]

C. g(x)=
(x+8) x∈[4，16] D. g(x)=
(x+6) x∈[4，16]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

11.已知
为等差数列，
，
为其前n项和，则使
达到最大值的n等于___________.6

12..在直角坐标系
中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线
与曲线
（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为

13.在区间
内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数
有零点的概率为

14.已知实数
满足
若目标函数
取得最小值时最优解有无数个，则实数
的值为 　　

15.任給实数
定义
设函数
，

则
=______；若
是公比大于
的等比数列，且
，

则
0；

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.
中,角A,B,C所对的边之长依次为
,且

(I)求
和角
的值;

(II)若
求
的面积.

解:(I)由
,
,得

由
得
,

,
,
,

∴

∴
,

∴
,∴

(II)应用正弦定理
,得
,

由条件
得

17.某工厂生产
两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

7

7

7．5

9

9．5





6



8．5

8．5





 由于表格被污损，数据
看不清，统计员只记得
，且
两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）求表格中
与
的值；

（Ⅱ）若从被检测的5件
种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．

(Ⅰ)因为
，

由
，得
． ① ……………………………2分

因为
，

由
，得
． ② ………………………4分

由①②解得
或
，因为
，所以
． …6分

(Ⅱ) 记被检测的5件
种元件分别为
，其中
为正品，

从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:

，
，
，
，
，

，
，
，
，
，………………………8分

记“2件都为正品”为事件
，则事件
包含以下6个基本事件：

，
，
，
，
，
.……………10分

所以
，即2件都为正品的概率为
. …………………12分

18.已知在四棱锥
中,
,
,
,
分别是
的中点.

(Ⅰ)求证
;

(Ⅱ) 若
,求二面角
的大小.

(Ⅰ) 证明:由已知得
,

故
是平行四边形,所以
,

因为
,所以
,

由
及
是
的中点,得
,

又因为
,所以

(Ⅱ) 解:设

,

则
,又
,
,

故
即
,

又因为
,
,

所以
,得
,故
,

取
中点
,连接
,可知
,因此
,

综上可知
为二面角
的平面角

可知
,

故
,所以二面角
等于

19.设数列
的前
项和为
,且满足
,

(Ⅰ)求数列
的通项公式;

(Ⅱ)设
,数列
的前
项和为
,证明:
.

(1)当
时,

当
时,

两式相减得:
, 整理得

=
(
)

是以1为首项,
为公比的等比数列

∴