北京市西城区2014年高三一模试卷

数 学（理科） 2014.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集
，集合
，
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2. 已知平面向量
，
，
. 若
，则实数
的值为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



3．在极坐标系中，过点
且与极轴平行的直线方程是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



4．执行如图所示的程序框图，如果输入
，那么输出的a值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）



5．下列函数中，对于任意
，同时满足条件
和
的函数是（ ）



（A）

（C）

（B）

（D）





6． “
”是“方程
表示双曲线”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了
年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ）



（A）

（B）

（C）5

（D）6





8. 如图，设
为正四面体
表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）





（A） 4个

（B）6个

（C）10个

（D）14个





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设复数
，其中
，则
______．

10. 若抛物线
的焦点在直线
上，则
_____；
的准线方程为_____．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.

12．若不等式组
表示的平面区域是一个四边形，则实数
的取值范围是_______.

13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）

14．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，P为线段
（含端点）上一个动点，设
，
，对于函数
，给出以下三个结论：

 当
时，函数
的值域为
；


，都有
成立；


，函数
的最大值都等于4.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知
.

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）如果
，
，求△ABC的面积.

16．（本小题满分13分）

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）

频数

频率





20







30







70















50





合计

200





（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；

（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了
个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；

（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，底面
和侧面
都是矩形，
是
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
// 平面
；

（Ⅲ）若平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.

18．（本小题满分13分）

已知函数
其中
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意
，且
，都有
，求
的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
，直线l与W相交于
两点，
与x轴、
轴分别相交于
、
两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线
的方程为
，求
外接圆的方程；

（Ⅱ）判断是否存在直线
，使得
是线段
的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

在数列
中，
. 从数列
中选出
项并按原顺序组成的新数列记为
，并称
为数列
的
项子列. 例如数列
为
的一个4项子列.

（Ⅰ）试写出数列
的一个3项子列，并使其为等差数列；

（Ⅱ）如果
为数列
的一个5项子列，且
为等差数列，证明：
的公差
满足
；

（Ⅲ）如果
为数列
的一个
项子列，且
为等比数列，证明：
.

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2014.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．B 3．D 4．C

5．D 6．A 7．A 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．,

注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，

所以
， ……………… 3分

又因为
，

所以
. ……………… 5分

（Ⅱ）解：因为
，
，

所以
. ………………7分

由正弦定理
， ………………9分

得
. ………………10分

因为
，

所以
，

解得
，

因为
，

所以
. ………………11分

故△ABC的面积
. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
，
. ……………… 2分

（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，

所以优等品、正品和次品的比例为
. ……………… 4分

所以按分层抽样法，购买灯泡数
，

所以
的最小值为
． ……………… 6分

（Ⅲ）解：
的所有取值为
. ……………… 7分

由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为
， ……… 8分

从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，

所以
，

，

，

. ……………… 11分

所以随机变量
的分布列为：

0

1

2

3















………………12分

所以
的数学期望
．

………………13分

（注：写出
，
，
. 请酌情给分）

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为底面
和侧面
是矩形，

所以
，
，

又因为
，

所以
平面
， ………………2分

因为
平面
，

所以
. ………………4分

（Ⅱ）证明：因为
，

所以四边形
是平行四边形.

连接
交
于点
，连接
，则
为
的中点.

在
中，因为
，
，

所以
. ………………6分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知
，

又因为
，
，

所以
平面
. ………………9分

设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴

如图建立空间直角坐标系，

设
，则
.

设平面
法向量为
，

因为
，

由
得

令
，得
. ………………11分

设平面
法向量为
，

因为
，