海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2014.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合

A.
B.
C.
D.

2.复数
在复平面内对应的点的坐标为

A.
B.
C.
D.

3.下列函数
图象中，满足
的只可能是

A B C D

4.已知直线
的参数方程为
(
为参数)，则直线
的普通方程为

A.
B.
C.
D.

5.在数列
中，“
”是“
是公比为2的等比数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有

A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种

7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 已知
，点
在曲线

上，若线段
与曲线

相交且交点恰为线段
的中点，则称
为曲线
关于曲线
的一个关联点.记曲线
关于曲线
的关联点的个数为
，则

A．
B．
C．
D．

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.

10. 函数
的图象与
轴所围成的封闭图形的面积等于_______.

11.如图，
切圆
于
，
，
，则
的长为_______．

12. 已知圆
与抛物线
的准线相切，则
_______．

13.如图，已知
中，
，
，
，则
_____________.

14.已知向量序列：
满足如下条件：

，
且
（
）.

若
，则
________；
中第_____项最小.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
，过两点
的直线的斜率记为
.

（Ⅰ）求
的值；

（II）写出函数
的解析式，求
在
上的取值范围.

16. （本小题满分13分）

为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：

甲公司某员工A



乙公司某员工B



3

9

6

5

8

3

3

2

3

4

6

6

6

7

7















0

1

4

4

2

2

2







每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：

甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为
（单位：元），求
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. （本小题满分14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，
于
，延长AE交BC于F，将
ABD沿BD折起，使平面ABD
平面BCD，如图2所示.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A–DC –B的余弦值．

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
使得
平面
？若存在,请指明点
的位置；若不存在，请说明理由.

18. （本小题满分13分）

已知曲线
.

(Ⅰ)若曲线C在点
处的切线为
，求实数
和
的值；

(Ⅱ)对任意实数
，曲线
总在直线
:
的上方，求实数
的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知
是椭圆
上两点，点M的坐标为
.

（Ⅰ）当
两点关于
轴对称，且
为等边三角形时，求
的长；

（Ⅱ）当
两点不关于
轴对称时，证明：
不可能为等边三角形.

20. （本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
：
与
：
，其中
，若同时满足：

①两点列的起点和终点分别相同；②线段
，其中
，

则称
与
互为正交点列.

（Ⅰ）求
：
的正交点列
；

（Ⅱ）判断
：
是否存在正交点列
？并说明理由；

（Ⅲ）
N，是否都存在无正交点列的有序整点列
？并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （理科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 96 10.
11. 2 12.
13.
14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15．解：

（Ⅰ）
---------------------------2分

------------------------------3分

. -------------------------------5分

（Ⅱ）
------------------------------6分

------------------------------7分

------------------------------8分

------------------------------10分

因为
，所以
， ------------------------------11分

所以
， -----------------------------12分

所以
在
上的取值范围是
-----------------------------13分

16.解：

（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分

（Ⅱ）设
为乙公司员工B投递件数，则

当
=34时，
=136元，当
>35时，
元，

的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分

{说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}

的分布列为：

136

147

154

189

203

















--------------------------------------9分

{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

--------------------------------------11分

（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分

17．（Ⅰ）因为平面
平面
，交线为
，

又在
中，
于
，
平面

所以
平面
. --------------------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）结论
平面
可得
.

由题意可知
，又

.

如图，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系

--------------------------4分

不妨设
，则
.

由图1条件计算得，
，
，

则
-------5分

.

由
平面
可知平面DCB的法向量为
. -----------------------------------6分

设平面
的法向量为
，则

即

令
，则
，所以
.------------------------------------8分

平面DCB的法向量为

所以
，

所以二面角
的余弦值为
------------------------------9分

（Ⅲ）设
，其中
.

由于
，

所以
，其中
--------------------------10分

所以
--------------------------11分

由
，即
---------------------------12分

解得
. -----------------------------13分

所以在线段
上存在点
使
，且
.-------------14分

18．解

（Ⅰ）
， -----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：
，

所以
且
. ----------------------------------4分

解得
，
-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的
的上方，等价于

?x,