北京市西城区2014年高三一模试卷

数 学（文科） 2014.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集
，集合
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





2．已知平面向量
，
，那么
等于（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





3．已知双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心

率为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．下列函数中，对于任意
，同时满足条件
和
的函数是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





6． 设
，且
，则“函数
在
上是减函数”是“函数
在

上是增函数”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了
年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ）



（A）

（B）5

（C）6

（D）7





8. 如图，设
为正四面体
表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）





（A） 4个

（B）6个

（C）10个

（D）14个





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设复数
，其中
，则
______．

10．若抛物线
的焦点在直线
上，则
_____；
的准线方程为_____．

11．已知函数
若
，则实数
______；函数
的最大值为_____．

12．执行如图所示的程序框图，如果输入
，那么输出的a值为______．

13．若不等式组
表示的平面区域是一个

四边形，则实数
的取值范围是__________.

14．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，P为线段
（含端点）上一个动点. 设
，
，记
，则
____； 函数
的值域为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知
.

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）如果
，
，求
的值.

16．（本小题满分13分）

某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）

频数

频率





10







30







70















60





合计

200





（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；

（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；

（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了
个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，
， N是棱
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面
平面
?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点
处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意
，都有
，求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆W的方程.

（Ⅱ）设斜率为
的直线l与W相交于
两点，记
面积的最大值为
，证明：
.

20．（本小题满分13分）

在数列
中，
. 从数列
中选出
项并按原顺序组成的新数列记为
，并称
为数列
的
项子列. 例如数列
为
的一个4项子列.

（Ⅰ）试写出数列
的一个3项子列，并使其为等比数列；

（Ⅱ）如果
为数列
的一个5项子列，且
为等差数列，证明：
的公差
满足
；

（Ⅲ）如果
为数列
的一个6项子列，且
为等比数列，证明：
.

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2014.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．B 3．D 4．C

5．D 6．A 7．B 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．

12．

13．
14．

注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，

所以
， ……………… 4分

又因为
，

所以
. ……………… 6分

（Ⅱ）解：因为
，
，

所以
， ………………8分

由正弦定理
， ………………11分

得
. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
，
，
. ……………… 3分

（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件
. ……………… 4分

由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，

所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为
. …………… 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为
.

……………… 10分

所以按分层抽样法，购买灯泡数
，

所以
的最小值为
． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为底面
是矩形，

所以
， ……………… 1分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………… 3分

（Ⅱ）证明：因为
，

所以
平面SAD， ……………… 5分

又因为
平面
，

所以
. ……………… 6分

因为
，且N为AD中点，

所以
.

又因为
，

所以
平面
. ……………… 8分

（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作
交
于点P，连接PB，PD.

因为
平面
，

所以
平面
. …………… 11分

又因为
平面
，

所以平面
平面
. …………… 12分

在矩形
中，因为
，

所以
.

在
中，因为
，

所以
.

则在棱SC上存在点P，使得平面
平面
，此时
. ……… 14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由
，得
， ……………… 2分

所以
，

又因为
，

所以函数
的图象在点
处的切线方程为
. ……………… 4分

（Ⅱ）解：由
，得
，

即
. ……………… 6分

设函数
，

则
， ……………… 8分

因为
，

所以
，
，

所以当
时，
， ……………… 10分

故函数
在
上单调递增，

所以当
时，
. ……………… 11分

因为对于任意
，都有
成立，

所以对于任意
，都有
成立.

所以
. ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W的半焦距
，右焦点
，上顶点
，…… 1分

所以直线
的斜率为
，

解得
， ……………… 3分

由
，得
，

所