考试时间：120分钟 试题分数：150分

第Ⅰ卷

一．选择
题:
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集
，集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2.复数
的实部为

（A）
（B）
（C）
（D）

3.化简
为

（A）
（B）
（C）
（D）

4.双曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

5.已知命题
，
. 则
为

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

6. 已知公差不为0的等差数列
中，
构成等比数列，则这个等比数列的公比为

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 某人射击两次，第一次射中的概率为
，第二次射中的概率为
，则至少射中一次的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 设实数
满足约束条件
，则
的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

9. 执行如图所示的程序框图，输出的
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 抛物线
的焦点为

为准线上一点，则线段
的中垂线与抛物线的位置关系为

（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）以上都有可能

11. 已知函数
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
时
恒成立，则
的大小关系为

（A）
（B）

（C）

（D）

12. 已知三棱锥
中，
，则此棱锥的体积为

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷[来源:学科网]

二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.
的展开式中
项的系数为 .

14.已知数列
的前
项和
，则
.

15.如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的最长
的棱长为 .[来源:Zxxk.Com]

16.
对于
总有
≥0 成立，则
= ．

三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
满足

，

，函数

·

．

(Ⅰ) 求函数
的周期； (Ⅱ)求函数
在
的值域．

18．(本小题满分12分)

随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸
系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场
所和呼吸系统健康，得到
列联表如下：

室外工作

室内工作

合计



有呼吸系统疾病

150







无呼吸系统疾病



100





合计

200[来源:学。科。网]







补全
列联表，你是否认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.

参考公式：

 0.050 0.010





 3.841 6.635





19.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱
棱长均为
,点
在侧棱
上.

（Ⅰ）求
的最小值；

（Ⅱ）当
取最小值时，求面
和面
所成的锐二面角的大小.

20.（本小题满分12分）

平面直角坐标系内，已知动点
分别在
轴上，
，点
满足
，
点的轨迹记作
.

（Ⅰ)求
的方程；

（Ⅱ）若直线
与轨迹
只有一个公共点，求该公共点的坐标.

21.（本小题满分12分）

已知函数
（其中
为常用对数的底数）．

（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）求证：
，其中常数
.

请考生在22、23
、24
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是
的角平分线，经过点
的圆
和
切于
，且与
相交于
，连结
.

(Ⅰ)求证：
； (Ⅱ)求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数），
是
上的点，
是
上的点，且满足
.

(Ⅰ)求
和
的公共弦长；

(Ⅱ)在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求
的极坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知实数
，
，若存在
使得不等式
成立，求实数
的取值范围．

2013-2014学年度上学期期末考试

高三数学试卷（理科）参考答案

一．选择题

BACAB DDBCB DA

二．填空题

13.10 14.8 15.6 16.4

三．解答题

18．解:列联表如下

室外工作

 室内工作[来源:Z&xx&k.Com][来源:学.科.网Z.X.X.K]

 合计



有呼吸系统疾病

150

200

350



 无呼吸系统疾病

50

100

150



 合计

200

300

500



 4分

计算
， 10分

所以感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 12分

19. 解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，

可知当
为
中点时，
最小，最小值为
. 4分

（Ⅱ）因为
底面
，
，在底面上过点
作
的垂线，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示.所以
，所以
， 6分

设面

的一个法向量为

.

则
，不妨令
，则

. 8分

（Ⅱ）设
为
，显然
，直线与
联立可得
，

直线
与轨迹
只有一个公共点，所以该方程有两个相等实根，

由（Ⅰ)知该根为
， 6分

所以
，解得
， 10分

所以公共点坐标为
，
，
，
12分

21.证明：（Ⅰ）设
，所以
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减. 2分

所以
，即
，当
时取等号. 4分

（Ⅱ）设
，所以
.

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减. 10分

所以
，即
，当
时取等号，由（Ⅰ）所以
. 12分

(或者先证明
，再由
可得)

22.证明：(Ⅰ)因为
是圆
的切线，所
以
，

又
因为
，且
，

所以
，所以
. 5分

(Ⅱ) 连接
，
中，
，

，所以
∽
，所以
，又因为
，所以
. 10分

24.解：
，
可得

可得
，

存在
使得不等式成立，只需
小于或等于
的最大
值，设

，
，可得其最大值为
，

5分

解不等式

，当
可得
，当
可得恒成立，当
可得
，综上可得解集为

10分

[来源:学&科&网Z&X&X&K]