包头市第三十三中学2013-2014学年度第一学期试卷

高三年级期末数学 2014.01.10

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．如果复数
是实数，则实数
( )

A.
????? B.?
C.?
?? D.

3．焦点为（0，6）且与双曲线
有相同渐近线的双曲线方程是（ ）

A.
B .
C.
D.

4. 在
中，角
所对的边分别为
,若
，
，
，则角
的大小为( )

A．
B．
C．
D．

5. 如图，设
是图中边长为
的正方形区域，
是
内函数
图象下方的点构成的区域。在
中随机取一点，则该点在
中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的

点落在坐标轴上的个数是（ ）

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

7．在
中,
，
,点
在
上且满足

,则
等于( )

A．
B．
C．
D．

8. 函数
（
）
的部分图像如图

所示，如果
，且
，

则
（ ）

A．
　 B．
C．
D．1

9. 如图，正方体
的棱长为1，过点
作平面
的垂线，垂足

为
．则以下命题中，错误的命题是（ ）

A．点
是
的垂心 B．
垂直平面

C．
的延长线经过点
D．直线
和
所成角为

10.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在点P使
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A.（0，
B.（
） C.（0，
） D.（
，1）

11.在△ABC中，∠C =900，∠B =300，AC=1，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，

使A、B间的距离为
，则M到面ABC的距离为 （ ）

A.
B.
C. 1. D.

12．已知函数
，把函数
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和
,则
＝（ ）

A．15 B．22 C．45 D． 50

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）

13.直线
相切于点（2，3），则b的值为 。

14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角

形，则该三棱锥的外接球的体积为_______________.

15. 已知数列
满足
，且
若
且
为等差数列,则t=_______

16.已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图像如图所示．给出关于
的下列命题：

第16题图

①. 函数
在x=2时，取极小值；②. 函数
在
是减函数，在
是增函数；

③. 当
时，函数
有
个零点.④. 如果当
时，
的最大值是
，那么
的最大值为5. 其中所有正确命题序号为____________．

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17（本小题满分12分）

在
中，
，
，
分别是三内角A，B，C所对的三边，已知
．

（1）求角A的大小； （2）若
，试判断
的形状．

18. （本小题满分12分）

已知等比数列
中，
.若
，数列
前
项的和为
.

（Ⅰ）若
，求
的值； （Ⅱ）求不等式
的解集.

19（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

分别是PA、BC的中点．

(I)求证：MN∥平面PCD；

(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分12分）

已知焦点在
轴上的椭圆C1：
=1经过A(1，0)点，且

离心率为
．

(I)求椭圆C1的方程；

(Ⅱ)过抛物线C2：
(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与
轴平行时，求h的最小值．

21、（本小题满分12分）

已知函数
，其中a为常数.

（1） 当
时，求
的最大值；

（2） 若
在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（3） 当
时，试推断方程
=
是否有实数解.

请考生在第22,23,题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。（本小题满分10分）

22. 在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为
.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|.

23. 设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集； （Ⅱ）
，使
，求实数的取值范围．

包头市第三十三中学2013-2014学年度第一学期试卷

高三年级期末数学答案 2014.01.10

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

B

C

B

D

C

D

D

A

C





1.【答案】D

试题分析：
，
，所以

，选D。

2．【答案】A

试题分析：
是实数，则虚部
为 0，所以

，选A

3．【答案】B

试题分析：设双曲线方程为
，又因为焦点为（0,6），则
，选B。

4.【答案】B

试题分析：由
得
，即
，因为
，所以
，又因为
，
，所以在
中，由正弦定理得：
，解得
，又
，所以
，所以
。

5.【答案】C

试题分析：
，所以
，选C。

6.【答案】B

7．【答案】D

试题分析：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为
，所以
，
，所以
=
。故选D.

8.【答案】C

试题分析：由图像可知
代入
得

9.【答案】D

10.【答案】D

试题分析：根据正弦定理得
，所以由
可得
，即
，所以
，又

，即
，因为
，

(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以
，

即
，所以
，即
，所以
，

解得
，即
，选D.

11． 【答案】A

12．【答案】C

试题分析：根据函数的解析式，画出图像，由图像易知这10 个零点为0,1,2,3，……，9，所以
＝45.

二．填空题：

13.【答案】—15

14．【答案】

15.【答案】

16. 【答案】①③④

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

解析：（1）
，所以
，得到
…4分

（2）∵
∵
∴
，…6分

即
得到
， ……………8分

等边三角形 …………12分

18. 解：（Ⅰ）
得
　

是以
为首项，２为公差的等差数列.

..8分

（Ⅱ）

　　　

即，所求不等式的解集为
…12分

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．

∵
,
.

∴四边形
为平行四边形，……………3分

∴
，又
平面
,……………………5分

∴MN∥平面PCD.

（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，

设PC上一点E坐标为
，
，

即
，

则
．………………7分

由
,解得
．

∴
.………………9分

作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，

∴AH⊥平面PBC,取
为平面PBC的法向量．则
，

∴设AE与平面PBC所成角为
，
,
的夹角为
，则

.………………12分

（20）（本小题满分12分）

20. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由题意可得
，……………2分

解得
，

所以椭圆
的方程为
.………………4分

（Ⅱ）设
，由
，

抛物线
在点
处的切线的斜率为
,

所以
的方程为
,……………5分

代入椭圆方程得
,

化简得

又
与椭圆
有两个交点，故

①

设
，
中点横坐标为
，则

, …………………8分

设线段
的中点横坐标为
,

由已知得
即
， ②………………10分

显然
,
③

当
时，
，当且仅当
时取得等号，此时
不符合①式，故舍去；

当
时，
，当且仅当
时取得等号，此时
，满足①式。

综上，
的最小值为1.………………12分

22. 解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，

f′(x)=－1+

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
=f（1）=-1。。3分

(2) ∵f′(x)=a+
，x∈(0,e］，
∈

① 若a≥
，则f′(x)≥0， f(x)在(0,e］上增函数

∴
=f（e）=ae+1≥0.不合题意…5分

② 若a<
，则由f′(x)>0
>0，即0

由f(x)<0
<0，即

∴
=f
=-